[過去ﾛｸﾞ] 不等式スレッド (984ﾚｽ)
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1(23): 03/12/27 16:28 AAS
有名な不等式からマニアックな不等式について語り合いましょう。
34: 04/02/18 02:04 AAS
タイトルは(；´д｀)ﾊｧﾊｧなのに、誰もいない悪寒…。
>>1はどこヘ逝った？ 建て逃げかよ…。 _ト￣|○
ところで小難しいのを見つけたのですが、スッキリ証明できません。
よろしくお願いします。
正の数a,b,x,yに対して、次の不等式を証明せよ。等号成立条件も示せ。
(ax^2+by^2)^3 ≦ (a^3+b^3)(x^3+y^3)^2
113(1): 04/05/09 12:59 AAS
シンプルで易しい問題
a>0b>0
y=b^x のグラフは下に凸
∴ (1,b)→(x,b^x) の平均変化率はxと共に単調増加。
∴ (b^x-b)/(x-1) > b-1.
【１】
a>1 ⇒ b/(a+b-ab) > b^a > ab+1-a.
a<1 ⇒ b/(a+b-ab) < b^a < ab+1-a.
(a^b)-a, (b^a)-b, (a-1)(b-1) の符号は一致する。
【２】
省2
114: 113 04/05/09 19:29 AAS
訂正 スマソ.
【１】
a>1 ⇒ ............ b^a > ab+1-a.
a<1 ⇒ b/(a+b-ab) < b^a < ab+1-a.
118(2): 04/05/12 00:41 AAS
>116
G≡（Π[k=1 to n]a_k）^(1/n) とおくとき、
G>1 ⇒ Σ[k=1 to n] 1/(1+a_k) ≧ n/(1+G)
G<1 ⇒ Σ[k=1 to n] 1/(1+a_k) ≦ n/(1+G)
Equality: a_k=const or G=1.
120(3): 04/05/12 04:37 AAS
(；ﾟдﾟ) ﾊｯ！ すみません。
問題文見なおしたら、a_k≧1だった・・・
どうやって次を示すのですか？
G≡（Π[k=1 to n]a_k）^(1/n) とおくとき、
G>1 ⇒ Σ[k=1 to n] 1/(1+a_k) ≧ n/(1+G)
124(3): 04/05/14 19:35 AAS
>120
G≡（Π[k=1 to n]a_k）^(1/n) とおくとき、
a_k>1 (k=1～n) ⇒ ∑[k=1 to n] 1/(1+a_k) ≧ n/(1+G).
0<a_k<1 (k=1～n) ⇒ ∑[k=1 to n] 1/(1+a_k) ≦ n/(1+G).
Equality: a_k=const.
125(2): 124 04/05/14 19:37 AAS
(証) a_k=G (k=1～n)のときは、明らかに成立。 a_k≠G (k=1～m)とし、mに関する帰納法による。
a_m>G, a_{m-1}<G （またはその逆）としても一般性を失わない。
いま a_m, a_{m-1} を、それらの中間にある b_m=G, b_{m-1}=a_m･a_{m-1}/G=p/G で置換えてみる。
b_m + b_{m-1} = a_m + a_{m-1} - (a_m-G)(G-a_{m-1})/G < a_m + a_{m-1} = s.
上記の置換えにより、積pは不変で和sは減少する。
S = 1/(1+a_m) + 1/(1+a_{m-1}) = 1 + (1-p)/(1+s+p) は和sについて単調に増加／減少する。
∴ a_k>1 ⇒ p>1 ⇒ S > 1/(1+b_m) + 1/(1+b_{m-1}).
∴ a_k<1 ⇒ p<1 ⇒ S < 1/(1+b_m) + 1/(1+b_{m-1}).
上記の置換え｛a_1,～,a_m} → {a_1,～,a_{m-2},b_{m-1},b_m} により mが1つ減少し、Sも減少／増加した。
帰納法の仮定により m-1 に対しては成立しているから、mに対しても成立する。（終）
省1
129: 124 04/05/15 15:56 AAS
Note to [124] & [126]
Inequalities in [124] are equivalent.
∵ 1/(1+a) + 1/{1+(1/a)} = 1, 1/(1+G) + 1/{1+(1/G)} = 1.
[126] is equivalent to:
Let e_k>0 (k=1 to n), Σ[k=1 to n]e_k=1, G'=Π[k=1 to n](a_k^e_k), then
a_k>1 (k=1～n) ⇒ Σ[k=1 to n] e_k/(1+a_k) ≧ 1/(1+G').
139(2): 04/05/17 02:00 AAS
【系】でつ。
1/p＋1/q＋1/r = 1, p,q,r>1 ａ_i≧0, ｂ_i≧0, ｃ_i≧0 (i＝1，2，3，･･･，n)としまする。
{∑[i=1→n](ａ_i)^p}^(1/p) {∑[i=1→n](ｂ_i)^q}^(1/q) {∑[i=1→n](ｃ_i)^r}^(1/r) ≧ ∑[i=1→n]ａ_i･ｂ_i･ｃ_i
俺にはｻﾊﾟｰﾘ
291(1): 04/07/09 07:52 AAS
>289
（右側）題意より (x-1)(y-1)>0.
Ln(x)/(x-1)>0 は単調減少だから
x<y ⇒ Ln(x)/(x-1)>Ln(y)/(y-1)>0 ⇒ x^(y-1)>y^(x-1)>1 ⇒ y/x > (y^x)/(x^y).
365: ぬるぽ 04/08/31 23:03 AAS
>361
f=2 で十分と思われ．．．
x<1 のとき F(x)> -x^2 +3> 2
x>1 のとき F(x) = x^2(x^3-1)+3 > 3
∧＿∧
( ;´∀｀) ＜ぬるぽ
388(3): 04/09/12 15:01 AAS
不等式（ヒルベルト）でげす。
1/p＋1/q=1, p>1 f(x)>0 g(y)>0 (x≧0,y≧0) としまする。
{∫_[0,∞) f(x)^p dx}^(1/p)｛∫_[0,∞) g(x)^q dy}^(1/q) > {sin(π/p)/π}∫∫{f(x)g(y)/(x+y)}dxdy
を示してくださいです。
俺にはｻﾊﾟｰﾘ
430(5): 425 04/10/02 14:27 AAS
>416
a_k/1998 = x_k とおく。
【補題】(Klamkin,1974)
x_k>1 ⇒ ∑[k=1,n] 1/(1+x_k) ≧ n/(1+u), ただし u = (x_1･x_2･･････x_n)^(1/n)：相乗平均。
（略証）nに関する帰納法による。
x_kがすべて等しいときは明らかに成立するので、 u は x_n と x_{n-1} の間にあるとしてよい。
いま y_n =u, y_{n-1} =x_n･x_{n-1}/u とおくと 積は不変で、和は
x_{n-1} + x_n - y_{n-1} - y_n = (u-x_{n-1})(x_n-u)/u ≧0 だけ減少する。
∴ 1/(1+y_{n-1}) + 1/(1+y_n) ≦ 1/(1+x_{n-1}) + 1/(1+x_n).
｛x_1 ････ x_{n-2}, y_{n-1}｝の n-1 個で考えると、相乗平均はu.
省5
442(7): 04/10/06 01:41 AAS
(1) [Carson's Inequality] a,b,c>0に対し
\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)/8} ≧ \sqrt{(ab+bc+ca)/3}
(2) a,b,c,d>0に対し
\sqrt{(a^2+b^2+c^2+d^2)/4} ≧ \sqrt[3]{(abc+bcd+cda+dab)/4}
(3) a,b,c>0に対し
(|a-b|+|b-c|+|c-a|)/3 + \sqrt[3]{abc} ≧ (a+b+c)/3
(4) [1998,Hong Kong] a,b,c>1に対し
\sqrt{a-1} + \sqrt{b-1} + \sqrt{c-1} ≦ \sqrt{a(bc+1)}
(5) [1998 APMO] a,b,c>0に対し
(1+ a/b)(1+ b/c)(1+ c/a) ≧ 2(1+ (a+b+c)/\sqrt[3]{abc})
省9
478(1): 04/10/10 08:55 AAS
>>430の補題の仮定 x_k>1 は、x_k≧1 でもOKですよね？
485: 04/10/13 06:14 AAS
訂正
>ということで、|f(-b/{2a})|≦5M/4 を示せれば…
軸の位置によって、|-b/(2a)|>1のときは
|f(x)| ≦ max{|f(-1)|, |f(1)|} ≦ M
|-b/(2a)|≦1のときは、D=b^2-4ac≧0のときには、
|f(-b/{2a})| の最大値を考えないといけないんだけど
|f(-b/{2a})| = |-b^2/(4a)+c| ≦ (|b|/2)*|b/2a|+|c| ≦ (M/2)*1+M = 3M/2
ここで、|2b|=|f(1)-f(-1)|≦2M、|c|=|f(0)|≦M を用いた。
5M/4にならんのですが…。
495(1): 04/10/15 19:47 AAS
>492
(1) [442]の(5)と同じ．．．
(3) r>1 のとき y=x^r は下に凸ゆえ、 {Σ[k=1,n](x_k)^r}/n ≧ {(Σ[k=1,n] x_k)/n}^r.
∴ Π[k=1,n] a_k =Ｐ ⇒ Σ[k=1,n] (a_k -1)^r ≧ n{(1/n)(Σ[k=1,n] a_k) -1}^r ≧ n{Ｐ^(1/n) -1}^r
630(2): 04/11/12 07:40 AAS
>627-628
(5)(ii) ですが、やっぱり分からんです。
g(x) = 1+√x は、x≧0 において上に凸で、g(x)>1 なので、
G(x) = log g(x) も、x≧0 において上に凸。 Jensenの不等式より
G(a)+G(b)+G(c) ≦ 3G((a+b+c)/3) = 3G(1/3)
∴ g(a)g(b)g(c) ≦ {g(1/3)}^3 = 2+(5/9)√3
と最大値はでますが、最小値は何故 g(a)g(b)g(c) ≧ g(0)g(0)g(1) なのですか？
705(2): 04/11/26 22:17 AAS
（問題）
a,b>2 のとき、{1/(a+b)}^(1/a) + {1/(a+b)}^(1/b) >1.
おながいします。
>703
ねた足りな．．．
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