[過去ﾛｸﾞ] 不等式スレッド (984ﾚｽ)
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388(3): 04/09/12 15:01 AAS
不等式（ヒルベルト）でげす。

1/p＋1/q=1, p>1 f(x)>0 g(y)>0 (x≧0,y≧0) としまする。

{∫_[0,∞) f(x)^p dx}^(1/p)｛∫_[0,∞) g(x)^q dy}^(1/q) > {sin(π/p)/π}∫∫{f(x)g(y)/(x+y)}dxdy

を示してくださいです。

俺にはｻﾊﾟｰﾘ

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391(2): 04/09/12 22:42 AAS
>>388
まず極座標(r,θ)に変換して、rについてヘルダーの不等式を使う。
t = 1/p, tanθ = s とすると、
∫[0,∞) (1+s)s^t ds = π/sin(πt) (0<t≦1/2)を示せばよいことがわかる。
t ≦ 1/2 かつ t が有理数のときは留数定理で計算できる。
tについての連続性からt ≦ 1/2でもこの等式は成立する。

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670(1): 04/11/22 13:52 AAS
>>388の証明(>>391)がよくわかんない。詳しく教えてくれ。

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674(1): 04/11/22 23:33 AAS
>>673
なるほど。
>>388に書かれてるように、真の不等号が成り立つっていうのは証明難しい？

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