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純粋・応用数学・数学隣接分野(含むガロア理論)12 (1002レス)
純粋・応用数学・数学隣接分野(含むガロア理論)12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/
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237: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/01(日) 09:36:09.99 ID:x1AjdVpC >>116 >ラグランジュ分解式=指標和(character sum)であることが説明されてない本は素人本だね。 >わたしは大学の頃自分で気づいたが、後で見たらラングだったかの本にはちゃんと書いてあった。 へー google検索 "character sum Lagrange resolvent" で下記2件ヒット ラングの本はしらんけど 1) "P13 [6.7] p = 11 and order m = 5 Since ω = ω5 The constant term 11 = (2^5 + 1)/(2 + 1) is the norm of qo = ω + 2, so 11 = (ω + 2)(ω^2 + 2)(ω^3 + 2)(ω^4 + 2)" https://www-users.cse.umn.edu/~garrett/m/v/kummer_eis.pdf (July 28, 2010) Kummer, Eisenstein, computing Gauss sums as Lagrange resolvents Paul Garrett garrett@math.umn.edu http://www.math.umn.edu/?garrett/ 1. Solving cyclic equations by Lagrange resolvents 2. Kummer’s approximation of Gauss sums 3. Galois equivariance and prime factorizations 4. Ambiguity by units 5. Evaluating Gauss sums 6. Numerical examples 7. Appendix: Kronecker’s theorem, Kummer (-Teichm¨uller) character, Gauss sums つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/237
238: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/01(日) 09:36:32.87 ID:x1AjdVpC >>237 つづき 4. Ambiguity by units P8 Let qo generate p, the ideal lying under P in Z[ω], where P defines the Kummer (-Teichm¨uller) character. Identify (Z/m)× with the Galois group of Q(ω) over Q, which we know acts transitively on primes over p in Z[ω]. 6. Numerical examples P13 [6.7] p = 11 and order m = 5 Since ω = ω5 satisfies ω^4 + ω^3 + . . . + ω + 1 = 0, 0 =((ω + 2) - 2)^4+((ω + 2) - 2)^3+ . . . +((ω + 2) - 2)+ 1 = (ω + 2)^4 + . . . + 11 The constant term 11 = (2^5 + 1)/(2 + 1) is the norm of qo = ω + 2, so 11 = (ω + 2)(ω^2 + 2)(ω^3 + 2)(ω^4 + 2) The fifth power of the quintic Gauss sum is γ(χ^-2_P )^5 = η ・ (ω + 2) (ω^2 + 2)^3(ω^3 + 2)^2(ω^4 + 2)^4 and the congruence for η is -η (ω^2 + 2)^2(ω^3 + 2) (ω^4 + 2)^3 = (-1/((11-1)/5)!)5 mod (ω + 2) Using ω = -2 mod ω + 2, this is η ((-2)^2 + 2)^2((-2)^3 + 2) ((-2)^4 + 2)^3 =1/2^5 mod (ω + 2) or η ・ 6^2・ (5) ・ (7)^3 = -1 mod (ω + 2) which simplifies to η ・ 3 ・ 5 ・ 2 = -1 mod (ω + 2) and then 3η = 1 mod (ω + 2), so η = 4 mod (ω + 2). Since ω = -2 mod (ω + 2), this gives η = ω^2. Thus, γ(χ^-2_P )^5 = ω^2・ (ω + 2) (ω^2 + 2)^3(ω^3 + 2)^2(ω^4 + 2)^4 and the quintic subfield of Q(ω5, ζ11) is generated over Q(ω5) by the fifth root of this. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/238
240: 和尚が? [] 2023/01/01(日) 09:51:21.40 ID:pCSmtf17 >>237-239 正月からキーワードで検索した結果を一読すらせずコピペするマウントヒヒ1 人でなしのサルは哀れなもんです http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/240
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