[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/

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744: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/14(土) 19:27:09.68 ID:p/slNf5Z >>713 > １の原始５５乗根の－１倍は１の原始１１０乗根。 > １の原始１１０乗根の－１倍は１の原始５５乗根。 ありがとう 下記Cyclotomic field ”Small examples n = 3 and n = 6: The equations ζ3={-1+√-3}/2 and ζ6={1+{√-3}/2 show that Q(ζ3) = Q(ζ6) = Q(√?3)” に類似だね 例えば ζ3 ＝cos 2π/3 +isin 2π/3 ζ6 ＝cos 2π/6 +isin 2π/6 -ζ6 ＝-cos 2π/6 -isin 2π/6 ＝cos (2π/6+π) +isin (2π/6+π) ＝cos (2π2/3) +isin (2π2/3) ＝ζ3^2 -ζ110 ＝cos 2π/110 -isin 2π/110 ＝cos (2π/110+π)+isin (2π/110+π) ＝cos (2π28/55)+isin (2π28/55) ＝ζ110^28 一般に、偶数2k に対して -ζ2k ＝-cos 2π/2k -isin 2π/2k ＝cos (2π/2k+π) +isin (2π/2k+π) ＝cos (2π(1+2k)/2k) +isin (2π(1+2k)/2k) （ここで、kが奇数k=2k'+1のとき） ＝cos (2π(1+2k)/2k)+isin (2π(1+2k)/2k) ＝cos (2π(1+k')/k) +isin (2π(1+k')/k) ＝ζk^(1+k') となる つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/744

745: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/14(土) 19:27:37.98 ID:p/slNf5Z >>744 つづき (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/1%E3%81%AE%E5%86%AA%E6%A0%B9 1の冪根 1 の n乗根の内、m (< n) 乗しても決して 1 にならず、n乗して初めて 1 になるものは原始的 (primitive) であるという。 全ての自然数 n に対する 1 の原始n乗根を総称し、1 の原始冪根（いちのげんしべきこん）、または1 の原始累乗根（いちのげんしるいじょうこん）という。 1の原始冪根 複素数の範囲では、1 の原始n乗根は n >= 3 のとき2つ以上存在する。ド・モアブルの定理より、 ζn =cos 2π/n +isin 2π/n は 1 の原始n乗根の一つであることが分かる。 この時、ζn の共役複素数 ζn も 1 の原始n乗根である。 n と互いに素な自然数 m に対して ξn^m は 1 の原始n乗根であり、逆に 1 の原始n乗根はこの形に表せる。 すなわち、1 の原始n乗根は、オイラーのφ関数を用いて、φ(n) 個だけ存在する。 方程式 x^n = 1 を考える。この方程式の解は、ド・モアブルの定理より、 ζn =cos 2πk/n +isin 2πk/n (k=1,2,・・,n) であるが、1 の原始n乗根 ξn を一つ選べば、 x=ξn^k (k=1,2,・・,n) と書くことができる。 https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_field Cyclotomic field In number theory, a cyclotomic field is a number field obtained by adjoining a complex root of unity to Q, the field of rational numbers. Definition For n >= 1, let ζn = e^2πi/n ∈ C; this is a primitive nth root of unity. Then the nth cyclotomic field is the extension Q(ζn) of Q generated by ζn. Small examples n = 3 and n = 6: The equations ζ3={-1+√-3}/2 and ζ6={1+{√-3}/2 show that Q(ζ3) = Q(ζ6) = Q(√?3), which is a quadratic extension of Q. Correspondingly, a regular 3-gon and a regular 6-gon are constructible. https://univ-juken.com/tagaini-so 受験辞典 互いに素とは？意味や証明問題を簡単にわかりやすく解説！ 2022年4月14日 互いに素とは、2 つの整数の最大公約数が 1 であることです。 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/745

747: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf [sage] 2023/01/14(土) 20:54:04.53 ID:AEfDxZC9 >>744 ＞ありがとう 　違う　そうじゃない 　１　君が真っ先にやることは 　「私が間違ってましたぁぁぁぁぁ！」 　とジャンピング土下座で額を地面に叩きつけて謝罪することｗ 　さ、やってみ　工業高校１年中退のナニワのヤンキー 　全身根性焼きされたくないだろ？ｗ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/747

748: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf [sage] 2023/01/14(土) 21:01:01.83 ID:AEfDxZC9 >>744 ＞-ζ110 ＝cos 2π/110 -isin 2π/110 ＞＝cos (2π/110+π)+isin (2π/110+π) ＞＝cos (2π28/55)+isin (2π28/55) ＞＝ζ110^28 はい、最終行間違いｗ　正解はζ55^28ね 良質の工学技術者ならば、当然気づくべき間違い 根本の理解が出来てない これ、工学屋ならば、致命傷 ま、死ななくていいよ ここに書き込まなければ 今すぐ実践しろな　工業高校１年中退のナニワのヤンキー http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/748

752: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/14(土) 23:39:08.44 ID:p/slNf5Z >>748 >＞＝cos (2π28/55)+isin (2π28/55) >＞＝ζ110^28 >はい、最終行間違いｗ　正解はζ55^28ね おお、ありがとうね >>744を 早速修正 ＝cos (2π28/55)+isin (2π28/55) ＝ζ110^28 　↓ ＝cos (2π28/55)+isin (2π28/55) ＝ζ55^28 です http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/752

761: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/15(日) 12:35:39.38 ID:fdSQKtbP >>732 >sin(2π/11)はQ(exp(2πi/11))には含まれない。 >Q(exp(2πi/44))に含まれる。こういう包含関係の なるほど それ面白いね 下記Cyclotomic fieldで n=2については、トリビアすぎで記載がないが、 x^2=1 では、x=1,-1 で、Q(-1) = Qにしかならない ・>>744に書いたけど、n=k (k奇数)では、k→2kを考えても、意味が無い ・一方、下記n = 4で、ζ4 = i,Q(ζ4) = Q(i)だから 　n＝4k になる場合、i∈Q(ζ4k)かな？ ・この場合、i∈Q(exp(2πi/44))か 　そうすると、Q(exp(2πi/11))⊂Q(exp(2πi/44))で 　ζ11＝cos(2π/11)+i sin(2π/11)で 　下記 Q(ζm)∩R=Q(ζm+1/ζm) より 　Q(cos(2π/11))⊂ Q(exp(2πi/11))⊂Q(exp(2πi/44)) 　念のために書くと 　Q(cos(2π/11))=Q(ζm + 1/ζm)⊂ Q(ζ11)⊂Q(ζ44) 　そして 　cos(2π/11),i∈Q(ζ44)で、 　sin(2π/11)=(ζ11 - cos(2π/11))/i ∈Q(ζ44)となる ・Q(ζ55)には、虚数単位iは含まれないかな？ (参考) https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_field Cyclotomic field Small examples n = 4: Similarly, ζ4 = i, so Q(ζ4) = Q(i), and a regular 4-gon is constructible. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E5%88%86%E4%BD%93 円分体 性質 Q(ζm)∩R=Q(ζm + 1/ζm) である。このQ(ζm + 1/ζm) を、最大実部分体または実円分体という。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/761

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