[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)

純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/

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756: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/15(日) 10:47:26.10 ID:fdSQKtbP >>753 >>代数方程式論で、主に二つの原始根が登場する >それ、乗法群(Z/nZ)×　と　加法群(Z/nZ)　の違い 違うよ 原始根の一つは、乗法群(Z/nZ)×関連で 石井本「ガロア理論の頂を踏む」の第1章 9,10節の「原始根」にあるけど さらに、11節「既約剰余類群を解剖する-(Z/pZ)×の構造」につながって 11節の最後に”この定理は最後のピークの定理を証明するときに大活躍します”とある つまり、ガロア理論の群論側で活躍するのだが、円分体でも活躍するってことだね （石井本では、第4章 3～6節、第6章 1、6節） もう一つは、体の拡大K/k（下記）を考えると K の元 αを一つ添加すると、k(α)に、α,α^2,α^3・・,α^n,・・が含まれることになる αが、超越数のとき、上記は無限に続いてすべて代数的独立だね 一方、αが代数的数で、k 係数多項式 f(X) でｎ次式の根とする α^(n+1)は、ｎ次以下に落とせる つまり、トリビアだけど f(X) ＝anx^n+an-1x^(n-1)+・・a0として anx^n＝-{an-1x^(n-1)+・・a0}+f(X) x=αを代入して anα^n＝-{an-1α^(n-1)+・・a0} （f(α)＝0だから） α^(n+1)＝-{α(an-1α^(n-1)+・・a0}/an となるよね だから、体の拡大では、α,α^2,α^3・・,α^n,・・とあるときには まずk(α)を考えろというのが、普通だろ？ 勿論、円分体のように特殊な場合は、α^2とかα^3とかが原始根になっているときもあるだろうが 一般的には、α^2とかα^3とかは、原始根で無い可能性が高いよ だから 　>>712より 再録 >>ζ110=-ζ55 なんですがｗｗ >ζ110を1の原始110乗根とするならそれでOKだが、1は >ζ110=cos(2π/110)+sin(2π/110)i　 >だと勝手に思い込んでるに違いないから、その場合は (引用終り) って、”あんた、体の拡大分かってんの？”って話ですｗ ζ110=cos(2π/110)+i sin(2π/110) ζ55=cos(2π/55)+i sin(2π/55) を、考えるべし だから、「ζ110=-ζ55」ってｗ つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/756

757: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/15(日) 10:48:10.71 ID:fdSQKtbP >>756 つづき (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%A4%A7 体の拡大 代数性・超越性 K/k を体の拡大とするとき、K の元 α が k 上代数的（だいすうてき、algebraic over k）であるとは、k 係数多項式 f(X) で α が f(X) の根となるようなものが存在するときにいう[6]。k 上代数的な K の元 α を根に持つ k 係数多項式でモニックかつ次数最小のものを α の k 上の最小多項式（さいしょうたこうしき、minimal polynomial）とよび[7]、Irr(α, k, X) のように記す。拡大 K/k で K の各元がすべてk 上代数的であるとき、拡大 K/k は代数的であるといい[8]、K を k の代数拡大体という。拡大 T/k がk 上代数的でないとき、拡大 T/k は超越的（ちょうえつてき、transcendencial）であるという[8]。T の元 t はk 上代数的でないとき k 上の超越元という。t がk 上超越的であることは、「k 上の多項式 f(X) が f(t) = 0 となるならば f = 0 である」ことと同値であり「k に t を添加した体 k(t) は一変数代数関数体 k(X) に同型である」こととも同値である。拡大 T/k が超越的であることは、k 上超越的な T の元 t が少なくともひとつ存在する事と同値である。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/757

758: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf [sage] 2023/01/15(日) 11:21:01.55 ID:KCopoF1R >>756 >>それ、乗法群(Z/nZ)×　と　加法群(Z/nZ)　の違い >違うよ 　すぐ、考えなしに脊髄反射で「違うよ」というから間違うんだよ　1は >もう一つは、 >K の元 αを一つ添加すると、 >k(α)に、α,α^2,α^3・・,α^n,・・が含まれることになる 　だからそれが円分体の場合、(Z/nZ) 　1のn乗根で、mがnの約数だったら、 　aをcos(2π/m)+sin(2π/m)iとした場合 　a^mのベキだけでは根の全てを生成しない 　つまり、原始根でないっていうこと >だから”あんた、体の拡大分かってんの？”って話ですｗ 　あいかわらずトンチンカン 　無関係に大袈裟な話をするのは 　ペテン師の常套手段だよ >ζ110=cos(2π/110)+i sin(2π/110) >ζ55=cos(2π/55)+i sin(2π/55) >を、考えるべし 　それは君が高校数学レベルだからそれしか思いつかないだけ 　上記に限っちゃうのが高校数学レベル　大学数学ではそれ以外がある http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/758

762: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/15(日) 12:41:34.92 ID:fdSQKtbP >>756 補足 そもそも 「ζ110=-ζ55」がアホ Q(ζ110)=Q(-ζ55)とでも書けば 格好はついたろう こういう粗雑な書き方をすると 体論や体の拡大が、分かってないと 判断されてもしかたない 院試なら、首が飛ぶかもね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/762

776: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/15(日) 16:07:21.43 ID:fdSQKtbP >>771 >>そもそも「ζ110=-ζ55」がアホ >その発言がダラズ　原始根が分かってなかった証拠 はいはい 代数方程式論で、主に二つの原始根が登場する>>749 あんたは ”n を法とする原始根”で、”乗法に関して成す群 (Z / n Z)× が巡回群であるときの、その生成元” を想定してたんだ>>749 でも、”1の原始冪根”の議論のときは ζ110=cos(2π/110)+i sin(2π/110) ζ55=cos(2π/55)+i sin(2π/55) が普通（デフォルト）だってことだよ>>756 覚えておいてね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/776

855: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2023/01/17(火) 18:28:44.88 ID:3oKQI8/3 >>854 つづき （参考） 　>>756-757より再録 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%93%E3%81%AE%E6%8B%A1%E5%A4%A7 体の拡大 多元環は積を持つベクトル空間であるから、拡大 K/k において上の体 K を下の体 k 上のベクトル空間と見なすことができる。k ベクトル空間としての K の次元のことを拡大 K/k の次数（じすう、degree of field extension）といい、[K : k] などで表す[3]。特に、体 K が有限次元 k ベクトル空間なら、拡大 K/k は有限次拡大であるといい、そうでないとき無限次元拡大という https://hooktail.sub.jp/algebra/ExtensionField/ 拡大体 物理のかぎしっぽ 体 F の拡大体 E は， F 上のベクトル空間になっています． 拡大体の拡大次数 ここで，拡大体の表記法を紹介しておきます．体 F に新たに代数的な元 θ を添加して拡大体を作るとき，その拡大体を F(θ ) のように書きます．特に，元を一個だけ添加して得られる拡大体を 単純拡大体 と呼びます． F(θ ) は， F に θ だけ添加した拡大体ですので，単純拡大体です． https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/open/2021koukai-kouza/op2021-001.pdf 合同式 志甫　淳 東京大学大学院数理科学研究科 2021 年 11 月 21?23 日 公開講座「p 進数」 https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/open/2021koukai-kouza/ 2021年度公開講座 『p進数』東大 『合同式』志甫　淳（1時間00分55秒）https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/open/2021koukai-kouza/op2021-001.html 『p進数』阿部 紀行（1時間05分00秒）https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/open/2021koukai-kouza/op2021-002.html 『Hasse-Minkowskiの定理』今井 直毅（1時間06分13秒）https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/video/open/2021koukai-kouza/op2021-003.html つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1671460269/855

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