[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)
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228(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)23:33 ID:rNlYJ3SK(28/33) AAS
>>227
つづき
この予想は、コンウェイ・ノートンの予想の一般化である。その理由は、ボーチャーズの定理が、g が恒等元として設定されているときの場合に関係しているからである。今日まで、この予想は未解決である。
コンウェイ・ノートンの予想のように、一般化されたムーンシャイン予想もまた、物理的な解釈をもっていて、1988年にディクソン・ギンスパーク・ハーヴィ(Dixon-Ginsparg-Harvey)により提案されたDixon, Ginsparg & Harvey (1989)。かれらはベクトル空間 V(g) をモンスター対称性を持った共形場理論のツイストされたセクターとして、また、函数 f(g,h,τ) の乗法的数列の種数 1 を分配函数の種数として解釈した。
量子重力との予想される関係
2007年、エドワード・ウィッテン(Edward Witten)は、AdS/CFT対応が (2+1)-次元の反ド・ジッター空間の純粋量子重力と、臨界で正則CFTの間の双対性を主張していると示唆した。(2+1)-次元の純粋重力は自由度を持たないが、しかし宇宙定数が負のときにBTZブラックホール解が存在するために非自明なことが起きる。ハーン(G. Hohn)により導入された臨界CFTは、低エネルギーではヴィラソロプライマリー場を持たないということにより特徴づけられ、ムーシャイン加群が一つの例となっている。
ウィッテンの提案（Witten (2007)）に従うと、AdS空間内の最大の負の宇宙定数を持つ重力は、中心電荷 {\displaystyle c=24}c=24 でCFTの分配函数がちょうど {\displaystyle j-744}j-744 となる正則CFTのAdS/CFT双対である。この正則CFTは、ムーンシャイン加群の次数付き指標(character)である。フレンケル・レポウスキー・ミュールマンの予想であるムーンシャイン加群は、中心電荷が 24 で指標が {\displaystyle j-744}j-744 である唯一の正則頂点作用素代数(VOA)であるという予想を前提として、ウィッテンは最大の負の宇宙定数を持つ純粋重力は、モンスターCFTの双対であると結論づけた。
省1
229(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2022/12/31(土)23:34 ID:rNlYJ3SK(29/33) AAS
>>228
つづき
ウィッテンの提案の一部として、ヴィラソロプライマリー場はブラックホールを生成する作用素の双対であり、整合性チェックとして、彼は大きな質量境界で与えられたブラックホールのベッケンシュタイン・ホーキングの準古典エントロピーの見積もりと、対応するムーンシャイン加群のヴィラソロプライマリーの多重度の対数が一致することを発見した。小さな質量領域では、エントロピーに対して小さな量子補正が存在し、最も小さなエネルギーのプライマリー場は、{\displaystyle \log(196883)\sim 12.19}\log(196883)\sim12.19である。一方、ベッケンシュタイン・ホーキングの見積もりは{\displaystyle 4\pi \sim 12.57}4\pi\sim12.57である。
ダンカンとフレンケル（Duncan & Frenkel (2009)）は、ラーデマッハーの和（英語版）を使い、この双対性の証拠をさらに加え、大域的トーラス同種(isogeny)幾何学上の正規化された和を使い、(2+1)-次元重力の分配函数としてマッカイ・トンプソン級数を再現した。さらに、彼らは、モンスターの元でパラメトライズされるツイストしたカイラル重力の族の存在を予想し、一般化されたムーンシャインや重力インスタントンとの関係を示唆した。現在のところ、これら全てのアイデアは、むしろ期待でしかなく、その理由の一つとしては、3-次元量子重力が厳密な数学的な基礎を持っていないことにある。
マチュームーンシャイン
2010年、江口徹、大栗博司、立川祐二は、K3曲面上の楕円種数が N=(4,4) 超共形代数（英語版）の指標へ分解することができ、有質量状態（英語版）の多重度がマチュー群 M24（英語版）(Mathieu group M24)の既約表現の単純な結合のように見えることを発見した。このことは、M24 対称性を持つ対象空間としてK3曲面を持つシグマモデルの共形場理論が存在することを示唆している。しかし、向井・近藤分類によると、シンプレクティック自己同型による任意のK3曲面の上のこの群には忠実表現がなく、ガバルディエール(Gaberdiel)、ホーエンネッガー(Hohenegger)、ボロパト(Volpato)によると、任意のK3シグマモデルの共形場理論には忠実表現が存在しないという議論があり、基礎となるヒルベルト空間上に作用が現れないことがいまだにミステリーになっている。
つづく
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