[過去ﾛｸﾞ] 純粋・応用数学・数学隣接分野（含むガロア理論）12 (1002ﾚｽ)
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756(5): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)10:47 ID:fdSQKtbP(1/21) AAS
>>753
>>代数方程式論で、主に二つの原始根が登場する
>それ、乗法群(Z/nZ)× と 加法群(Z/nZ) の違い
違うよ
原始根の一つは、乗法群(Z/nZ)×関連で
石井本「ガロア理論の頂を踏む」の第1章 9,10節の「原始根」にあるけど
さらに、11節「既約剰余類群を解剖する-(Z/pZ)×の構造」につながって
11節の最後に”この定理は最後のピークの定理を証明するときに大活躍します”とある
つまり、ガロア理論の群論側で活躍するのだが、円分体でも活躍するってことだね
（石井本では、第4章 3～6節、第6章 1、6節）
省30
757(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)10:48 ID:fdSQKtbP(2/21) AAS
>>756
つづき
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
体の拡大
代数性・超越性
K/k を体の拡大とするとき、K の元 α が k 上代数的（だいすうてき、algebraic over k）であるとは、k 係数多項式 f(X) で α が f(X) の根となるようなものが存在するときにいう[6]。k 上代数的な K の元 α を根に持つ k 係数多項式でモニックかつ次数最小のものを α の k 上の最小多項式（さいしょうたこうしき、minimal polynomial）とよび[7]、Irr(α, k, X) のように記す。拡大 K/k で K の各元がすべてk 上代数的であるとき、拡大 K/k は代数的であるといい[8]、K を k の代数拡大体という。拡大 T/k がk 上代数的でないとき、拡大 T/k は超越的（ちょうえつてき、transcendencial）であるという[8]。T の元 t はk 上代数的でないとき k 上の超越元という。t がk 上超越的であることは、「k 上の多項式 f(X) が f(t) = 0 となるならば f = 0 である」ことと同値であり「k に t を添加した体 k(t) は一変数代数関数体 k(X) に同型である」こととも同値である。拡大 T/k が超越的であることは、k 上超越的な T の元 t が少なくともひとつ存在する事と同値である。
(引用終り)
以上
758: わかるすうがく 近谷蒙 ◆nSGM2Czuyoqf 2023/01/15(日)11:21 ID:KCopoF1R(4/46) AAS
>>756
>>それ、乗法群(Z/nZ)× と 加法群(Z/nZ) の違い
>違うよ
すぐ、考えなしに脊髄反射で「違うよ」というから間違うんだよ 1は
>もう一つは、
>K の元 αを一つ添加すると、
>k(α)に、α,α^2,α^3・・,α^n,・・が含まれることになる
だからそれが円分体の場合、(Z/nZ)
1のn乗根で、mがnの約数だったら、
aをcos(2π/m)+sin(2π/m)iとした場合
省11
762(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)12:41 ID:fdSQKtbP(4/21) AAS
>>756 補足
そもそも
「ζ110=-ζ55」がアホ
Q(ζ110)=Q(-ζ55)とでも書けば
格好はついたろう
こういう粗雑な書き方をすると
体論や体の拡大が、分かってないと
判断されてもしかたない
院試なら、首が飛ぶかもね
776(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/15(日)16:07 ID:fdSQKtbP(10/21) AAS
>>771
>>そもそも「ζ110=-ζ55」がアホ
>その発言がダラズ 原始根が分かってなかった証拠
はいはい
代数方程式論で、主に二つの原始根が登場する>>749
あんたは
”n を法とする原始根”で、”乗法に関して成す群 (Z / n Z)× が巡回群であるときの、その生成元”
を想定してたんだ>>749
でも、”1の原始冪根”の議論のときは
ζ110=cos(2π/110)+i sin(2π/110)
省3
855(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2023/01/17(火)18:28 ID:3oKQI8/3(3/5) AAS
>>854
つづき
（参考）
>>756-757より再録
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
体の拡大
多元環は積を持つベクトル空間であるから、拡大 K/k において上の体 K を下の体 k 上のベクトル空間と見なすことができる。k ベクトル空間としての K の次元のことを拡大 K/k の次数（じすう、degree of field extension）といい、[K : k] などで表す[3]。特に、体 K が有限次元 k ベクトル空間なら、拡大 K/k は有限次拡大であるといい、そうでないとき無限次元拡大という
外部ﾘﾝｸ:hooktail.sub.jp
拡大体 物理のかぎしっぽ
体 F の拡大体 E は， F 上のベクトル空間になっています．
省12
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