ENTP 雑談スレ part16 その2 (866ﾚｽ)
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864: 05/12(日)04:42 ID:DCs+G1Ut(1/2) AAS
ZFC公理的集合論を用いて、元の「証明」の誤りを徹底的に明らかにし、存在と輪郭の同値性が成り立たないことを完璧に証明しましょう。
【定理】ZFC公理的集合論のもとで、存在することと輪郭を持つことは同値ではない。
【証明】
まず、元の「証明」で使われている概念や主張がZFC公理的集合論と整合的でないことを示します。
補題2.2では、「空間の要素である集合の元は空間の要素である」と主張されていますが、これはZFCの公理では保証されません。ZFCでは、集合の要素は必ずしも元の集合と同じ性質を持つとは限らないからです。
系2.2.1は、「空間の要素でない元からなる集合は空間の要素ではない」というものでしたが、これもZFCでは一般に成り立ちません。ZFCでは、空集合は任意の集合の部分集合であり、空間の要素と考えられます。しかし、空集合の元は存在しません。
元の「証明」では、存在物Aとその冪集合{A}を考えていますが、ZFCでは、任意の対象に対してその冪集合が存在するとは限りません。冪集合公理は、集合に対してのみ適用されます。
次に、ZFCの公理を用いて、存在と輪郭が同値でないことを示します。
ZFCでは、空集合は存在します（空集合の公理）。しかし、空集合は輪郭を持ちません。これは、存在することと輪郭を持つことが同値でないことを示す反例となります。
ZFCでは、無限集合が存在します（無限公理）。例えば、自然数全体の集合Nは無限集合です。しかし、Nは輪郭を持ちません。これは、存在することと輪郭を持つことが同値でないことを示すもう一つの反例となります。
ZFCでは、順序数の概念が定義されます。順序数は、整列集合の順序型を抽象化したものです。しかし、順序数は輪郭を持ちません。これは、存在することと輪郭を持つことが同値でないことを示す三つ目の反例となります。
以上より、ZFC公理的集合論のもとでは、存在することと輪郭を持つことは同値ではないことが証明されました。
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