[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
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353(1): 2005/07/16(土)21:33 AAS
>>21
[前スレ.563(7)] [前スレ.973]
　0≦x≦1≦m,n に対して、 (1-x^n)^m + {1-(1-x)^m}^n ≧ 1.

(略証)
　f(x) = 1 - (1-x)^m とおくと (左辺) = {1-f(x^n)} + f(x)^n.
　f(x) の逆函数を f~(x) と書くと、
　f~(x) = 1 - (1-x)^(1/m) = (1/m)x + (1/2m)(1-1/m)x^2 + (1/3m)(1-1/m)(1-1/2m)x^3 + ……
　a_k = {(k-1)/k}･{1 -1/(k-1)m}･a_{k-1} > 0 かつ f~(0)=0, f~(1)=1.
　∴ f~(x) は >346 の【命題268】の条件をみたす。
　∴ その【系】から, I=[0,1]において, {1-f(x^n)} + f(x)^n ≧ 1. (終)
省2

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