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不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
不等式への招待 第２章 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
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413: １３２人目の素数さん [sage] 2005/08/30(火) 21:40:33 >>354 大数９月号に解説が載っていたので買っていた （ｸﾞｯｼﾞｮﾌﾞ？） 示すべき不等式を (x^2+y^2+z^2)/(x^5+y^2+z^2) + (x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^5+z^2) + (x^2+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^5) ≦ 3 … (1) として、Cauchyの不等式を用いて (x^2+y^2+z^2)/(x^5+y^2+z^2) ≦ (yz+y^2+z^2)/(x^2+y^2+z^2) を示し、巡回させて和をとると (1)の左辺 ≦ 2 + (xy+yz+zx)/(x^2+y^2+z^2) ≦ 3 ---------------------------------------------------------------------- より強い不等式が載っていた。証明は同様にするらしいけど… ('A`) お願いします。 正の実数x,y,z が xyz≧1 をみたすとき、 (x^5)/(x^5+y^2+z^2) + (y^5)/(x^2+y^5+z^2) + (z^5)/(x^2+y^2+z^5) ≧ 1 ≧ (x^2)/(x^5+y^2+z^2) + (y^2)/(x^2+y^5+z^2) + (z^2)/(x^2+y^2+z^5) ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/413
414: １３２人目の素数さん [sage] 2005/08/30(火) 21:58:37 >>413 >>364 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/414
415: １３２人目の素数さん [sage] 2005/08/31(水) 00:35:43 Σ(ﾟДﾟ) ﾊｯ！ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/415
416: １３２人目の素数さん [] 2005/09/06(火) 12:00:05 ager http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/416
417: １３２人目の素数さん [sage] 2005/09/09(金) 04:24:39 「数学オリンピック２」 スレより http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1121775239/134 > 134 名前：sage[] 投稿日：2005/09/08(木) 12:00:58 > > 微積分不等式 > > x0, 1, x2, …,xn を x0 + x1 + x2 + … + xn = 1 を満たす正の実数とする．次の不等式を示せ． > > ∑( i = 1, 2, …,n ) xi / ( ( √ ( 1 + x0 + x1 + … + x_{i-1} ) ( √ ( xi + … + xn ) ) < π / 2 > > 解答 > > ∑( i = 1, 2, …,n ) xi / ( ( √ ( 1 + x0 + x1 + … + x_{i-1} ) ( √ ( xi + … + xn ) ) > < ∫( 0 , 1 ) dt / ( √ ( 1 - t^2 ) ) > = π / 2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/417
418: １３２人目の素数さん [sage] 2005/09/10(土) 16:54:49 >417 ∑(i=0,1,…,n) ぢゃないか? 解答 x_0 + x_1 + … + x_{i-1} = sin(θ_i) とおくと、0 = θ_0 < θ_1 < … < θ_n < θ_(n+1) = π/2. (左辺) = ∑[i=0,n] {sin(θ_(i+1)) - sin(θ_i)} / cos(θ_i). ところで、{sin(Ａ+⊿)-sinＡ}/cosＡ = sin⊿ - (1-cos⊿)tanＡ < sin⊿ < ⊿. (左辺) < ∑[i=0,n] {θ_(i+1)) -θ_i} = θ_(n+1) - θ_0 = π/2. ぬるぽ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/418
419: １３２人目の素数さん [sage] 2005/09/12(月) 03:17:01 「★東大入試作問者になったつもりのスレ★ 第五問」 http://science4.2ch.net/test/read.cgi/math/1116752400/221 > m個の正の実数a1,a2,..amと正の整数k,lについて > (a1^k++a2^k+...+am^k)(a1^l+a2^l+...am^l)≦m(a1^(k+l)+a2^(k+l)+...am^(k+l)) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/419
420: １３２人目の素数さん [sage] 2005/09/12(月) 20:32:14 >>419 Σ[i=1 to m]ti=1、ti≧0、p+q=1、p,q>0とする。x^p,x^qは凸関数なので、 0≦(Σ(1/m)(ti)^p)≦(Σti/m)^p=m^(-p) 0≦(Σ(1/m)(ti)^q)≦(Σti/m)^q=m^(-q) よって、 (Σ(1/m)(ti)^p)(Σ(1/m)(ti)^q)≦m^(-p-q)=1/m (Σ(ti)^p)(Σ(ti)^q)≦m 等号はti=1/mのとき成立。 ti=ai^(k+l)/Σai^(k+l)、p=k/(k+l)、q=l/(k+l)とおいて示せる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/420
421: １３２人目の素数さん [sage] 2005/09/12(月) 20:37:00 >>420 凸関数→上に凸 or 凹関数に訂正 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/421
422: １３２人目の素数さん [sage] 2005/09/12(月) 23:02:19 チェビシェフそのものって感じもするが http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/422
423: １３２人目の素数さん [sage] 2005/09/13(火) 21:55:07 ５ページ目の問題313は既出だっけ？ http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2005/n5/PDF/v31n5syn.pdf http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/423
424: １３２人目の素数さん [sage] 2005/09/13(火) 21:58:32 >>422 たしカニ * + (V)∧_∧(V) + ヽ(ﾟ∀ﾟ)ノ ｻｲﾀﾏｻｲﾀﾏ + + / / + ノ￣ゝ * + + * . + (V)∧_∧(V) + ヽ( )ノ ｻｲﾀﾏｻｲﾀﾏ . * / / + + .......... ノ￣ゝ + http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/424
425: １３２人目の素数さん [sage] 2005/09/16(金) 13:27:44 >>423 Jensenで瞬殺かと思ったけど…、あまいあまいッ！ あまいわッ！ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/425
426: １３２人目の素数さん [sage] 2005/09/16(金) 14:55:35 5ページ目の問3073 http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/2005/n6/PDF/v31n6syn.pdf 見たことあるような、ないような ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/426
427: １３２人目の素数さん [sage] 2005/09/16(金) 15:42:10 正の数 a、b、c が abc=8 をみたすとき、 (a^2)/\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)} + (c^2)/\sqrt{(1+c^3)(1+a^3)} ≧ 4/3 ABMO 2005 http://www.cms.math.ca/Competitions/APMO/exam/apmo2005.html ( ﾟ∀ﾟ) ﾃﾍｯ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/427
428: １３２人目の素数さん [sage] 2005/09/17(土) 11:21:02 たしか初参加 >>427 AM-GMを繰り返し使って (a^2)/\sqrt{(1+a^3)(1+b^3)} + (b^2)/\sqrt{(1+b^3)(1+c^3)} + (c^2)/\sqrt{(1+c^3)(1+a^3) ≧ 3( a^2b^2c^2 / {(1+a^3)(1+b^3)(1+c^3)} )^(1/3) ≧ 36 / {(1+a^3) + (1+b^3) + (1+c^3)} ≧ 36 / (3+3abc) = 4/3 等号は a=b=c=2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/428
429: １３２人目の素数さん [sage] 2005/09/17(土) 13:03:54 >423 [313] In 1965 the Romanian mathematician T.Popoviciu proved the following inequality f(x) + f(y) + f(z) +3f((x+y+z)/3) ≧ 2f((x+y)/2) + 2f((y+z)/2) + 2f((z+x)/2), where f is a convex function on an interval Ｉ and x,y,z∈Ｉ. (略証) yはxとzの間（端点も含む）にあるとしてよい。このとき M = (x+y+z)/3 もxとzの間にある。 (M-x)/(z-M) = t とおくと 1/2≦t≦2. (i) yがxとM の間にあるとき、1/2≦t≦1. f(x) + f(y) ≧ 2f((x+y)/2), ｔf(z) + (2-t)f(M) ≧ 2f((y+z)/2), (1-t)f(z) + (1+t)f(M) ≧ 2f((z+x)/2). 辺々たす。 (ii) yがMとzの間にあるとき、1≦t≦2. (1/t)f(x) + (2 -1/t)f(M) ≧ 2f((x+y)/2), f(y) + f(z) ≧ 2f((y+z)/2), (1 -1/t)f(x) + (1 +1/t)f(M) ≧ 2f((z+x)/2). 辺々たす。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/429
430: １３２人目の素数さん [sage] 2005/09/17(土) 15:06:58 >426 [3073] Let x,y,z be positive real numbers. Prove that 1/(x+y+z+1) -1/[(x+1)(y+1)(z+1)] ≦ 1/8. and determine when there is equality. (x+y+z)/3=A とおく。相加相乗平均より (x+1)(y+1)(z+1) ≦ (A+1)^3, 等号成立はx=y=zのとき. (左辺) = 1/(x+y+z+1) - 1/[(x+1)(y+1)(z+1)] ≦ 1/(3A+1) -1/(A+1)^3 = (A^2)(A+3)/[(3A+1)(A+1)^3] = 1/8 - (A-1)^2(3A^2 +8A+1)/[8(3A+1)(A+1)^3] ≦ 1/8. 等号成立は x=y=z=1 のとき。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/430
431: １３２人目の素数さん [sage] 2005/09/17(土) 16:16:29 >>428 pu http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/431
432: １３２人目の素数さん [sage] 2005/09/17(土) 20:41:36 >>428 > AM-GMを繰り返し使って > ≧ 36 / {(1+a^3) + (1+b^3) + (1+c^3)} > ≧ 36 / (3+3abc) 不等号の向きが逆になるのでは？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/432
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