[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
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640(2): 638 2006/03/14(火)02:07 AA×
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[240|320|480|600|100%|JPG|べ|ﾚｽ栞|ﾚｽ消]
640: 638 [sage] 2006/03/14(火) 02:07:08 x>2 ⇒ g(x) = {0.75/(x+1)}^(1/x) + √{0.75/(x+1)} >1 (略証) 　(x/2,x/2,1) の相加･相乗平均から {(x+1)/3}^3 > (x/2)^2. 　∴ 1/x < 3√{0.75/(x+1)} -1 = 3y-1. 　上式の第2項 √{0.75/(x+1)} =y とおいた。x>2 より 0<y<1/2. 　また (2y/e)^2y ≧ 1/e, 　e^(±(1-2y)) > 1 ±(1-2y)　　　(← 下に凸) 　8/e >e　　　　(← log(2) > 2/3) より 　y^(2/x) > y^(6y-2) = (2y/e)^(6y-2)･(e/2)^(6y)･(1/y)^2 > e^(-3(1-2y))･e^(2(1-2y))･2^(2-6y) 　= (1/2)･(8/e)^(1-2y) > (1/2)e^(1-2y) > (1/2){1+(1-2y)} = 1-y. 　∴ g(x) = y^(2/x) + y > 1. 　y=1/2, x=2 のときは等号成立。 おやすみ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/640
略証 の相加相乗平均から 上式の第項 とおいた より また 下に凸 より のときは等号成立 おやすみ

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