[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
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970: 2007/05/01(火)18:54 AA×
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970: [sage] 2007/05/01(火) 18:54:55 >>950 (x^2 +yz)/[x√(2(y+z))] + (y^2 +zx)/[y√(2(z+x))] + (z^2+xy)/[z√(2(x+y))] ≧ √((y+z)/2) + √((z+x)/2) + √((x+y)/2) 　≧ √x + √y + √z. (略証) ・右側 　√((x+y)/2) ≧ (√x + √y)/2　を循環的にたす。 　この式は (x+y)/2 = {(√x + √y)/2}^2 + {(√x - √y)/2}^2,　または f(x)=√x が上に凸, で簡単。 ・左側 　yはxとzの中間にあるとすると、(x-y)(y-z)≧0, 　(左辺) - (中辺) = (x-y)(x-z)/[x√(2(y+z))] + (y-x)(y-z)/[y√(2(z+x))] + (z-x)(z-y)/[z√(2(x+y))] 　　= (x-y)^2 /[x√(2(y+z))] + (x-y)(y-z){1/[x√(2(s-x))] -1/[y√(2(s-y))] +1/[z√(2(s-z))]}+ (y-z)^2 /[z√(2(x+y))] 　 　　= (x-y)^2 /[x√(2(y+z))] + (x-y)(y-z){1/√g(x) -1/√g(y) +1/√g(z)}+ (y-z)^2 /[z√(2(x+y))], 　ここに g(ξ) = (ξ^2)(2s-2ξ),　s=x+y+z. ここから 　g(y) - g(x) = 2(y-x){(x+y)(s-x-y) +xy}, 　g(y) - g(z) = 2(y-z){(y+z)(s-y-z) +yz}, 　yはxとz の中間にあるとしたから、上の2式の一方は ≧0. 　g(y) - g(min) ≧0, 　1/√g(min) - 1/√g(y) ≧0. あるいは 　ξ>0 のとき、相加･相乗平均より g(ξ) ≦ (2s/3)^3,　等号成立は ξ=2s/3 のとき。 　すなわちg(ξ)は ξ=2s/3 に極大をもつ。またξ=0に極小をもち、0〜2s/3 で単調増加。 　x,y,z のうち 2s/3 以上になるのは高々1個。 　残りの2つは 2s/3 より小さい。 　0 < g(min) ≦ g(y), 　1/√g(min) - 1/√g(y) ≧0. スレ保存会の皆様、お疲れ様です。 ハｧハｧ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/970
略証 右側 を循環的にたす この式は または が上に凸 で簡単 左側 はとの中間にあるとすると 左辺 中辺 ここに ここから はと の中間にあるとしたから上の式の一方は あるいは のとき相加相乗平均より 等号成立は のとき すなわちは に極大をもつまたに極小をもち で単調増加 のうち 以上になるのは高個 残りのつは より小さい スレ保存会の皆様お疲れ様です ハハ

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