[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)

不等式への招待 第２章 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/

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973: １３２人目の素数さん [sage] 2007/05/04(金) 06:34:57 >972 [490] (modified) 　Does there exist a number k for which 　　　min{ (x_i -x_j)^2 | i>j } ≦ k(n){(x_1)^2 + (x_2)^2 + …… + (x_n)^2}. 　for any real numbers x_1, x_2, …, x_n ? 　If so, determine the smallest such k(n). Answer 　左辺を μ^2 とおく(μ≧0)。 　x_1≧x_2≧…≧x_n と並べなおすと、 　|x_i - x_j| ≧ |i-j|μ,　　　(1≦|i-j|≦n-1) |i-j|=L となる(i,j)は(n-L)組あるから、全部で 　Σ[i>j] (x_i-x_j)^2 ≧ (μ^2)Σ[L=1,n-1] (n-L)L^2 = (μ^2)*(n^2)(n^2 -1)/12 = (μ^2)*(n/k(n)), 一方, 　Σ[i>j] (x_i-x_j)^2 ≦ S^2 + Σ[i>j] (x_i-x_j)^2 = n{(x_1)^2 + (x_2)^2 + …… + (x_n)^2}, 　ここに S = x_1+x_2+……+x_n. これらより 　μ^2 ≦ k(n){(x_1)^2 + (x_2)^2 + …… + (x_n)^2}, 　ここに k(n) = 12/{n(n^2 -1)}, 　k(3)=1/2, k(4)=1/5. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/973

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