[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
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973(1): 2007/05/04(金)06:34 AAS
>972

[490] (modified)
　Does there exist a number k for which
　　　min{ (x_i -x_j)^2 | i>j } ≦ k(n){(x_1)^2 + (x_2)^2 + …… + (x_n)^2}.
　for any real numbers x_1, x_2, …, x_n ?
　If so, determine the smallest such k(n).

Answer
　左辺を μ^2 とおく(μ≧0)。
　x_1≧x_2≧…≧x_n と並べなおすと、
　|x_i - x_j| ≧ |i-j|μ,　　　(1≦|i-j|≦n-1)
|i-j|=L となる(i,j)は(n-L)組あるから、全部で
　Σ[i>j] (x_i-x_j)^2 ≧ (μ^2)Σ[L=1,n-1] (n-L)L^2 = (μ^2)*(n^2)(n^2 -1)/12 = (μ^2)*(n/k(n)),
一方,
　Σ[i>j] (x_i-x_j)^2 ≦ S^2 + Σ[i>j] (x_i-x_j)^2 = n{(x_1)^2 + (x_2)^2 + …… + (x_n)^2},
　ここに S = x_1+x_2+……+x_n.
これらより
　μ^2 ≦ k(n){(x_1)^2 + (x_2)^2 + …… + (x_n)^2},
　ここに k(n) = 12/{n(n^2 -1)},
　k(3)=1/2, k(4)=1/5.

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