[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
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974(1): 2007/05/04(金)20:43 AAS
>971

[Problem 273]
　△ABCの外接円の半径をR、内接円の半径をrとするとき、次を示せ。
cos(A)/{sin(A)^2} + cos(B)/{sin(B)^2} + cos(C)/{sin(C)^2} ≧ R/r ≧2.
　等号成立は正3角形のとき。
　（Source: 2000 Beijing Math. Contest)

Answer:
・左側は、辺で表わす。
　S = (ab/2)sin(C) = (bc/2)sin(A) = (ca/2)sin(B) = abc/4R より
　(左辺) = (bc/2S)^2･cos(A) + (ca/2S)^2･cos(B) + (ab/2S)^2･cos(C)
　　= (abc/8S^2){(b^2 +c^2)/a -a +(c^2 +a^2)/b -b +(a^2 +b^2)/c -c}, 　← 第2余弦定理

　S = ar/2 + br/2 + cr/2 = (a+b+c)r/2　より,
　1/r = (a+b+c)/2S,
　R=abc/4S　　　　　　　　← 正弦定理
辺々かけて
　(中辺) = R/r = (abc/8S^2)(a+b+c),

　(左辺) - (中辺) = (abc/8S^2){[(b^2)/c +(c^2)/b -b-c] + [(c^2)/a +(a^2)/c -c-a] + [(a^2)/b +(b^2)/a -a-b]}
　　= (1/8S^2){a(b+c)(b-c)^2 + b(c+a)(c-a)^2 + c(a+b)(a-b)^2}
　　≧ 0,

・右側
　△の3辺の中点を通る円の半径 = R/2. この円は△の3辺を切るから、半径 ≧r. (清水多門氏)
　大関: 「不等式への招待」近代科学社 (1987) p.8 >>960

>972
　[491] は >>353 にて解決。 >>21 [前スレ.563(7)]

ハｧハｧ

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