[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
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975(1): 2007/05/05(土)22:02 AAS
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[3241]
　a,b,c は実数で、a^2 +b^2 +c^2 =9 とするとき、次を示せ。
　　3･min{a,b,c} ≦ 1 + abc.
　　等号成立は min=-1, others=2 のとき.
Answer.
min{a,b,c} = c としても一般性を失わない。cを固定して(a,b)平面で考える。
題意より、円周 a^2 +b^2 = 9-c^2 のうち a≧c, b≧c の部分を考える。
〔補題〕
　　a,b ≧c≧0 のとき　ab ≧ c√(a^2 +b^2 -c^2) = c√(9-2c^2).
(略証)
　(ab)^2 - (c^2)(a^2 +b^2 -c^2) = (a^2 -c^2)(b^2 -c^2) ≧0. (終)
・c≦0 のとき
　　相加･相乗平均で　ab ≦ |ab| ≦ (a^2 +b^2)/2 = (9-c^2)/2.
　　3c ≦ 3c + (1-c/2)(1+c)^2 = 1 +c(9-c^2)/2 ≦ 1 + abc,
　　等号成立は a=b=2, c=-1 のとき.
・0≦c≦1.4 のとき
　　補題より ab/c ≧ √(a^2 +b^2 -c^2) = √(9-2c^2) ≧ (3/2)^2,
　　3c ≦ 1 + (3c/2)^2 ≦ 1 + abc,
・√(3/2) ≦c≦√3 のとき
　　(c^2)(9-2c^2) = 9 + (3-c^2)(2c^2 -3) ≧ 9,
　　ab ≧ c√(9-2c^2) ≧ 3,
　　3c ≦ 1 + 3c ≦ 1 + abc.

きょうは子どもの日だ…
フｩハｧ

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