[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)
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9(1): 風あざみ 05/01/22 00:52 AAS
x^4+y^4=z^2に自然数解が存在するしないこと
x^4+y^4=z^2に自然数解が存在すると仮定する。
この中で、zの値が最小になるものを(x_0,y_0,z_0)
x_0,y_0,z_0は互いに素である。
mod 4で考えると、x_0,y_0の一方が奇数、他方が偶数であることがわかる。
x_0が奇数と仮定しても一般性を失わないので、以後そう仮定する。
(x_0)^2=m^2-n^2、(y_0)^2=2mn、z_0=m^2+n^2
(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
mod 4で考えるとmが奇数でnが偶数でなければならないことがわかる。
(x_0)^2+n^2=m^2の解は、m=s^2+t^2、n=2st、x_0=s^2-t^2
(m、nは互いに素で、一方が奇数で他方が偶数)
また、{(y_0)/2}^2=m(n/2)で、mと(n/2)は互いに素だからmとn/2は共に平方数
n/2=stで、sとtは互いに素だから、sとtも共に平方数である。
m=r^2、s=u^2、t=v^2となるので
r^2=u^4+v^4となるが、z_0＞m≧rだから、z_0の最小性に反する。
よって示された。
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