[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第２章 (989ﾚｽ)

不等式への招待 第２章 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/

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7: 風あざみ [sage] 05/01/22 00:35:18 前スレの>>815の問題 a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。 ab≧10 を示せ。 解答には x^2+y^2=z^2、x,y,zは互いに素でかつxは奇数ならば、 x=s^2-t^2、y=2st、z=s^2+t^2(s,tは互いに素で一方が偶数で他方は奇数)とかけること を証明なして使います。 解答前に、二つほど補題を示します (1) x^4+y^4=z^2には整数解が存在しない。 (2) x^4-y^4=z^2には整数解が存在しない。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/7

8: 風あざみ [sage] 05/01/22 00:37:53 >>7 (1) x^4+y^4=z^2には自然数解が存在しない。 (2) x^4-y^4=z^2には自然数解が存在しない。 だな、突っ込まれる前に訂正(w http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/8

13: 風あざみ [sage] 05/01/22 01:39:17 要するに>>7は、ab/2≧5であることを示せばよい a^2+b^2=c^2を満たす有理数は a=(s^2-t^2)(f/g)、b=(2st)(f/g)、c=(s^2+t^2)(f/g)とかけます。 sとtは互いに素で一方が偶数で他方が奇数 fとgは互いに素な整数。 ab/2=M(Mは自然数)とおくと、f^2*st(s^2-t^2)=M*g^2 f^2とg^2は互いに素ですから、Mがf^2で割り切れる。 M=f^2*N st(s^2-t^2)=N*g^2 Nが平方数のとき st(s^2-t^2)=(整数)^2 sとtとs^2-t^2は二つずつ互いに素なので、s、t、s^2-t^2が平方数となる。 s=x^2、t=y^2、s^2-t^2=z^2となるが x^4-y^4=z^2の解が存在することになって、補題(2)に反する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/13

907: １３２人目の素数さん [sage] 2007/01/11(木) 21:44:38 >>7 7 名前： 風あざみ [sage] 投稿日： 05/01/22 00:35:18 前スレの>>815の問題 a,b,cを正の有理数、(a^2)+(b^2)=(c^2)で(ab)/2は整数とする。 ab≧10 を示せ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/907

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