[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第３章 (1001ﾚｽ)
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610: 2008/11/02(日)06:46 AAS
>>609
x=y=z=1のときとか成り立たないんだが・・・
なんか間違えてねーか？
611: 2008/11/02(日)10:20 AAS
>>593>>598の変形し損ね？
612(1): 2008/11/04(火)04:11 AAS
>>600
次の問いに答えよ。
（１） xが正の数のとき│log x│≦│x-1│/√x を示せ。
（２） p, q, r がp + q + r =1を満たす正の数のときp＾2+ q＾2+ r＾2 ≧1/3を示せ。
（３） a , b, c が相異なる正の数で、√a + √b + √c = 1を満たすとき、
｛ab/(b - a)｝・ log(b/a) + ｛bc/(c - b)｝・ log(c/b) + ｛ca/(a - c)｝・ log(a/c) ≦ 1/3
を示せ。 （２００７ 阪大）
613: 2008/11/04(火)10:21 AAS
>>612
誘導なしだったら、いい感じだね
614: 2008/11/04(火)20:40 AAS
test
615(2): 不等式だけの学会があるらしい 2008/11/04(火)21:07 AAS
lemmma3
a1≧a2,b1≧b2 -> (a1-a2)(b1-b2)≧0 -> a1*b1+a2*b2≧a1*b2+a2*b1
TH2
任意の自然数nに対して：a1^n+a2^n+,,,+an^n≧n*a1*a2*,,,*an
証明)
n=1:a1≧a1
n=kの時成立していると仮定しn=k+1で成立する事を示す。
まず、a1≧a2≧,,,≧a(k+1)①と仮定しても一般性を失わない。
a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^(k+1)+a(k+1)^(k+1)
=a1^(k+1)+a2^(k+1)+,,,+ak^k*ak +a(k+1)^k*a(k+1)
省15
616: 2008/11/04(火)21:11 AAS
>>615
>>437
617(1): 不等式だけの学会があるらしい 2008/11/04(火)21:19 AAS
日本の高校の教師によって示された。
俺はまず、ハーディーにあたってみたが、あの不等式の本ではもう少し一般化した式が
もう少し、めんどくさく示されており、ハーディーとリトルウッドの明晰でわかりやすいスタイルの中には入らない。
次に「天書の証明」にあたったが、コーシーがほんの一歩、めんどくさい証明をしており、
これが、美しい部類の物として、「載っていた」
シンプルであり、アルゴリズムの様な、簡単な、美しい証明だと思う。
「日本の高校の先生が「天書」から証明を盗んできた。」
618(1): 2008/11/05(水)00:00 AAS
>>617
「天書の証明」は、数ヲタとして持っておいたほうがいいですか？
本棚に飾っておいたほうがいいですか？
てか、オヌヌメですか？
最近、本を買っていないので何か買いたい気分です( ﾟ∀ﾟ)
619: 2008/11/05(水)00:27 AAS
>>618
あれは持っておいて損はない。
俺は日本語版（第２版）と原書（第３版）を両方買った。
620(2): 2008/11/05(水)00:31 AAS
アルゴリズムの様な、簡単な、美しい証明
のアルゴリズムのようなっていう比喩が全く意味が分からん
621(1): 2008/11/05(水)00:47 AAS
>>620
俺は分かるぞ。手続きが明らかになる構成的証明だということだと思う。
相加平均と相乗平均という，全く形が異なるものの間を一気に飛ぶのではなく，
相加平均が，１つずつ項を入れ替えてゆくことで少しずつ小さくなってゆき，
やがて相乗平均に至るという，途中経過が明らかになる証明だ，という意味だろう。
俺も全く同感だ。
622(1): 2008/11/05(水)05:24 AAS
x,y,z≧0,x+y+z=1のとき
xy+yz+zx-2xyzの最大値、最小値を求めよ
ところで質問なんですが
任意の整数nに対して
n^2+an+b≧0
となるようなa,bの条件出すこと出来ますか？
623: 2008/11/05(水)07:24 AAS
>>622
(1-2x)(1-2y)(1-2z)を展開すればわかる。
a^2-4b≦0
624(1): 2008/11/05(水)07:32 AAS
すまん。整数だったな。
0<a^2-b≦1これも必要かな……。
625(2): 2008/11/06(木)20:53 AAS
基本対称式を使った初心者でも何とか解ける不等式を教えてください。
626: 2008/11/06(木)23:19 AAS
('A` ) ﾌﾟｳ
ノヽノ) =3'A`)ﾉ ﾋｬｰ
くく へﾍﾉ ←>>625
627: 2008/11/07(金)00:08 AAS
>>625
x_1, ……, x_n を正の数とする。
これらの相加平均を A，
これらの二乗平均平方根を M ( =√{((x_1)^2+……+(x_n)^2)/n} )，
これらから作られる２次の基本対称式を S (=x_1x_2+……) とおく。
このとき，A≧M*n^{S/{n(n-1)M^2}-1/2} が成り立つことを示せ。（出典：Part2-847）
--------------
x_1, ……, x_n を正の数とする。
これらから作られる k 次の基本対称式を e_k とおき，
A_k=(e_k / C[n,k])^(1/k) とおく（C[n,k]は二項係数）。
省3
628: 2008/11/07(金)19:37 AAS
>>620
>>621さんに付け加える事は何もないですが、要はlemma3がサブルーチンで、この証明ではほとんどが
このサブルーチンで片がついているのです。プログラムでも、すっきりした簡単なメインルーチンと
もし、サブルーチン一つでかなりな複雑な事柄が片付けば、それは「美しいプログラム」だと
思います。
要はわかりやすく、読みやすい。と言う事かなと思います。話はむずかしくではなく、簡単でわかりやすい
方が「美しい」と思います。あなたが例えば、人様のノートをテスト前にコピーさせてもらった場合、要約もすばらしく、
論点も明確なノートなら、やはり、「美しい」と思うのではないでしょうか？
それと同じだと思います。
629: >>615訂正 2008/11/07(金)19:53 AAS
「まず、a1≧a2≧,,,≧a(k+1)①と仮定しても一般性を失わない。」の位置がおかいかったようです。
n=1の前に、
「まず、a1≧a2≧,,,≧an①と仮定しても一般性を失わない。」が正しいです。
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