[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第３章 (1001ﾚｽ)
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650: 2008/11/14(金)07:59 AAS
>>649
もううｐせざるを得ないだろう
651: 2008/11/14(金)10:04 AAS
B5サイズで50枚以上になるからなぁ…、断るッ！
652: 2008/11/18(火)23:21 AAS
【(2nCn)/(n+1)】カタラン数【(2n)!/(n+1)!n!】より
64 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2008/01/03(木) 18:20:39
〔不等式064〕
C[2m,m] = (4^m)/√(mπ) * exp(-1/8m + O(1/m^3)) ～ (4^m)/√(mπ) *(1 - 1/(8m) + …),
(略証)
スターリングの不等式
(n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n) -1/(360n^3) < log(n!) < (n +1/2)log(n) -n +(1/2)log(2π) +1/(12n),
を
log(C[2m,m]) = log((2m)!) -2log(m!),
に代入する。
省14
653(1): 2008/11/18(火)23:56 AAS
〔問題202〕
任意の正の整数mに対して不等式
|sin(a)| + |sin(2a)| + ････ + |sin(ma)| > (m/2) + (1/4) - 1/|4sin(a)|.
(略証)
|sin(ka)| ≧ {sin(ka)}^2 = {1 - cos(2ka)}/2 = (1/2) - 2cos(2ka)sin(a)/(4sin(a)) = (1/2) - {sin((2k+1)a)-sin((2k-1)a)}/(4sin(a)),
k=1,2,･･･,m について和をとる。
2chｽﾚ:math
654(1): 2008/11/19(水)00:26 AAS
任意の正の整数mに対して不等式
|sin(a)| + |sin(2a)| + ････ + |sin(ma)| < √{m[(m/2) + (1/4) + 1/|4sin(a)|]}.
が成り立つ。
(略証)
(左辺) ≦ √{mΣ[k=1,m] sin(ka)^2} = √{m[(m/2) - (sin((2m+1)a)-sin(a))/4sin(a) ]}
655: 2008/11/19(水)16:36 AAS
なんだこのスレｗｗｗｗ
おもすれーｗｗｗうぇｗｗｗｗ
656(1): 2008/11/19(水)22:37 AAS
>>653-654
ワイルの一様分布定理から、
〔補題〕 a/π≠整数 ならば、
(左辺)/m → (1/π)∫[0,π] sin(x)dx = 2/π. (m→∞)
657: 656 2008/11/20(木)22:30 AAS
訂正
〔補題〕 a/π ≠有理数 ならば、
658(2): 2008/11/24(月)20:12 AAS
f(x)=x^2-2mx+m+6 とする。
(1) すべてのxの値に対してf(x)≧0となる
定数mの値の範囲は-2≦m≦3である。
(2) 0≦x≦8のすべてのxの値に対してf(x)>0となる
定数mの値の範囲は-6<m<3である。
これを証明してください。
659: 2008/11/24(月)22:18 AAS
>>658
お前は勉強をやめた方がいい。
660: 2008/11/24(月)23:23 AAS
>>658
荒ら砂！
質問は質問スレに池！
661(1): 2008/11/26(水)01:34 AAS
2chｽﾚ:math
1/π<x<πの時、
sinx･sin(1/x)の最大値を求めよ
662(1): 2008/11/26(水)21:32 AAS
うるさい。
663: 2008/11/26(水)22:31 AAS
AA省
664(2): 2008/11/27(木)09:56 AAS
nCrｵﾀ向け
∑[k=0,n](k+2)*(k+1)*[2k+1]C[k]=？
665(1): 2008/11/27(木)23:22 AAS
>>661
[751] 微分法を使う。
g(t) = log(sin(e^t)) とおくと
g '(t) = (e^t)/tan(e^t) は単調減少(*)
g "(t) = －(e^t){1 - sin(e^t)cos(e^t)}/{sin(t)}^2 < 0,
∴ f は上に凸。
log(与式) = f(log(x)) + f(-log(x)) ≦ 2f(0) = log{sin(1)^2}
(*) {x/tan(x)} ' = 1/tan(x) - x/{sin(x)^2} = {sin(x)cos(x)-x}/{sin(x)^2} <0,
より、x/tan(x) は単調減少。
[763] 無限乗積表示（オイラー積表示）を使う。
省4
666: 2008/11/27(木)23:24 AAS
>>664
それ本当に求まるのか？
Mathematicaにやらせてみたら
-((2 + n)*(3 + n)*Gamma[5 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[1, 5/2 + n, 3 + n, 4] +
2*Gamma[7 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[2, 7/2 + n, 4 + n, 4] +
8*(7 + 2*n)*Gamma[6 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[3, 9/2 + n, 5 + n, 4])/(2*Gamma[3 + n])
になったぞ。
667: 665 2008/11/27(木)23:57 AAS
>>665 訂正
f(x) = log(sin(x)) なので、
log(与式) = f(x) + f(1/x) = g(log(x)) + g(-log(x)) ≦ 2g(0) = 2f(1) = log{sin(1)^2},
668(1): 2008/11/28(金)05:13 AAS
みなさんは不等式の必須手法みたいなのを何で学びましたか？
669: 2008/11/28(金)23:42 AAS
>>668
おまえには教えてやらねーよ！
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