[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第３章 (1001ﾚｽ)
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654(1): 2008/11/19(水)00:26 AAS
任意の正の整数mに対して不等式
|sin(a)| + |sin(2a)| + ････ + |sin(ma)| < √{m[(m/2) + (1/4) + 1/|4sin(a)|]}.
が成り立つ。
(略証)
(左辺) ≦ √{mΣ[k=1,m] sin(ka)^2} = √{m[(m/2) - (sin((2m+1)a)-sin(a))/4sin(a) ]}
655: 2008/11/19(水)16:36 AAS
なんだこのスレｗｗｗｗ
おもすれーｗｗｗうぇｗｗｗｗ
656(1): 2008/11/19(水)22:37 AAS
>>653-654
ワイルの一様分布定理から、
〔補題〕 a/π≠整数 ならば、
(左辺)/m → (1/π)∫[0,π] sin(x)dx = 2/π. (m→∞)
657: 656 2008/11/20(木)22:30 AAS
訂正
〔補題〕 a/π ≠有理数 ならば、
658(2): 2008/11/24(月)20:12 AAS
f(x)=x^2-2mx+m+6 とする。
(1) すべてのxの値に対してf(x)≧0となる
定数mの値の範囲は-2≦m≦3である。
(2) 0≦x≦8のすべてのxの値に対してf(x)>0となる
定数mの値の範囲は-6<m<3である。
これを証明してください。
659: 2008/11/24(月)22:18 AAS
>>658
お前は勉強をやめた方がいい。
660: 2008/11/24(月)23:23 AAS
>>658
荒ら砂！
質問は質問スレに池！
661(1): 2008/11/26(水)01:34 AAS
2chｽﾚ:math
1/π<x<πの時、
sinx･sin(1/x)の最大値を求めよ
662(1): 2008/11/26(水)21:32 AAS
うるさい。
663: 2008/11/26(水)22:31 AAS
AA省
664(2): 2008/11/27(木)09:56 AAS
nCrｵﾀ向け
∑[k=0,n](k+2)*(k+1)*[2k+1]C[k]=？
665(1): 2008/11/27(木)23:22 AAS
>>661
[751] 微分法を使う。
g(t) = log(sin(e^t)) とおくと
g '(t) = (e^t)/tan(e^t) は単調減少(*)
g "(t) = －(e^t){1 - sin(e^t)cos(e^t)}/{sin(t)}^2 < 0,
∴ f は上に凸。
log(与式) = f(log(x)) + f(-log(x)) ≦ 2f(0) = log{sin(1)^2}
(*) {x/tan(x)} ' = 1/tan(x) - x/{sin(x)^2} = {sin(x)cos(x)-x}/{sin(x)^2} <0,
より、x/tan(x) は単調減少。
[763] 無限乗積表示（オイラー積表示）を使う。
省4
666: 2008/11/27(木)23:24 AAS
>>664
それ本当に求まるのか？
Mathematicaにやらせてみたら
-((2 + n)*(3 + n)*Gamma[5 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[1, 5/2 + n, 3 + n, 4] +
2*Gamma[7 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[2, 7/2 + n, 4 + n, 4] +
8*(7 + 2*n)*Gamma[6 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[3, 9/2 + n, 5 + n, 4])/(2*Gamma[3 + n])
になったぞ。
667: 665 2008/11/27(木)23:57 AAS
>>665 訂正
f(x) = log(sin(x)) なので、
log(与式) = f(x) + f(1/x) = g(log(x)) + g(-log(x)) ≦ 2g(0) = 2f(1) = log{sin(1)^2},
668(1): 2008/11/28(金)05:13 AAS
みなさんは不等式の必須手法みたいなのを何で学びましたか？
669: 2008/11/28(金)23:42 AAS
>>668
おまえには教えてやらねーよ！
670: 2008/11/29(土)00:20 AAS
不等式を制する者は解析を制する。
671(3): 2008/11/29(土)12:07 AAS
AA省
672(1): 2008/11/29(土)18:50 AAS
>>664
(k+2)(k+1) = (2k+3)(2k+2)/3 - (k+1)k/3,
(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+1,k] = (1/3)(2k+3)(2k+2)*Ｃ[2k+1,k] - (1/3)(2k+1)(2k)*Ｃ[2k-1,k-1]
= (1/3)(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+3,k+1] - (1/3)(k+1)k*Ｃ[2k+1,k],
(与式) = (1/3)(2n+3)(2n+2)*Ｃ[2n+1,n] = (1/3)(n+2)(n+1)*Ｃ[2n+3,n+1].
>>671
三角不等式の束縛からのがれるため
b+c-a = a' >0 c+a-b = b' >0 a+b-c = c' >0
とおく。条件は a', b', c' >0 だけになった。両辺に
a = (b'+c')/2, b = (c'+a')/2, c = (a'+b')/2,
省5
673: 2008/11/29(土)19:19 AAS
>>671
移項したらSchur不等式････
(左辺) - (右辺) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = F_1 ≧0,
三角条件なくても成立････
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