[過去ログ] 不等式への招待 第3章 (1001レス)
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978: 2009/06/15(月)19:10 AAS
不等式への招待 第4章
2chスレ:math
979: 2009/06/15(月)23:24 AAS
nは自然数とする
(sinx)^n+(cosx)^n
の最大値、最小値を求めよ
Kを非負の定数とする
区間[t1,t2]で定義された負でない連続関数f(t),g(t)が
f(t)≦K+∫[t1→t]g(s)f(s)ds (t1≦t≦t2)
を満たすならば
f(t)≦Kexp(∫[t1→t]g(s)ds) (t1≦t≦t2)
が成り立つことを示せ
980(1): 2009/06/16(火)05:00 AAS
二年三十四日。
981(1): 2009/06/16(火)14:43 AAS
カーッ(゚Д゚≡゚д゚)、ペッ >>977,980
982(2): 2009/06/16(火)16:19 AAS
A,B,C>0,A+B+C=πのとき
sinA+sinB+sinC≦4sinAsinBsinC
を示せ
983: 2009/06/16(火)18:56 AAS
>>981
荒らすなヌケ作ボケ!
984(3): 2009/06/16(火)22:57 AAS
0 < a, b, c, d < 1 のとき、以下の不等式を示せ!
(1) 1+ab > a+b
(2) 1+abc > ab+bc+ca
(3) 1+abcd > abc+abd+acd+bcd
(4) 一般化せよ
お久しぶりです。( ゚∀゚) テヘッ!
985(1): 2009/06/16(火)23:00 AAS
>>982
改造せずにはいられない… (*゚∀゚)=3 ハァハァ
三角形ABCに対して、
0 < sin2A + sin2B + sin2C < sinA + sinB + sinC ≦ (3√3)/2
986: 2009/06/17(水)05:00 AAS
二年三十五日。
987: 2009/06/17(水)21:37 AAS
>>982
相乗・相加平均 と 上に凸 より
{sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)}^(1/3) ≦ {sin(A/2) + sin(B/2) + sin(C/2)}/3 ≦ sin((A+B+C)/6) = sin(π/6) = 1/2,
∴ 1 ≧ 8sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2),
∴ sin(A) + sin(B) + sin(C) = 4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) ≧ 4sin(A)sin(B)sin(C),
(不等号が逆向き・・・・)
>>985
(左側&中央)
sin(2A) + sin(2B) + sin(2C) = 4sin(A)sin(B)sin(C),
(右側) sin は上に凸だから
省1
988: 2009/06/18(木)00:49 AAS
>>984
成り立たない
989: 2009/06/18(木)05:00 AAS
二年三十六日。
990(1): 2009/06/18(木)16:37 AAS
>>984
nは正整数
0<a[i]<1で
n-1+Π[k=1_n]a[k]≧Σ[k=1_n]a[k]
と言いたかったのかな
991: 2009/06/18(木)18:45 AAS
>>990
俺はこう思った
1+ab>2(a+b)/2
1+abc>2(ab+bc+ca)/3
1+abcd>2(abc+abd+acd+bcd)/4
1+abcde>2(abcd+abce+abde+acde+bcde)/5
992(2): 2009/06/18(木)20:46 AAS
新数学スタンダード演習にあった問題です
1. x<y<zのときxyy-xxy+yzz-yyz+zxx-zzx>0を示せ
2. 1<a<b<cのとき log[a](c/b)+log[b](a/c)+logc[b/a]>0を示せ.
解答では1.でxについて整理、2.では1.を利用としています.
ここの住人の方々にエレガントで驚愕できる美しい解答をお願いしたいです.
993: 2009/06/18(木)21:11 AAS
>>992
とりあえず、1. の方だけ。
A=y-x B=z-y とおいて式を整理すると、
xy^2 - x^2y + yz^2 - y^2z + zx^2 - z^2x
= xyA + yzB - zx(A+B) = x(y-z)A + z(y-x)B = (z-x)AB > 0
994(1): 2009/06/18(木)22:57 AAS
>>984
すまぬ、こう書きたかった…
0 < a, b, c, d < 1 のとき、以下の不等式を示せ!
(1) 1+ab > a+b
(2) 1+2abc > ab+bc+ca
(3) 1+3abcd > abc+abd+acd+bcd
995: 2009/06/18(木)22:57 AAS
ダメだ,対称性がありすぎて普通にしか解けん...
1. x<y<zより 0<y-x, z-y, z-x なので乗じて (y-x)(z-y)(z-x)>0.
これを展開すれば与式となる.
2. 1<a<b<c の自然対数(常用対数でも可)をとって 0<log a<log b<log c
それぞれx,y,zと見立てて 第1式に代入し, logA-logB=log(A/B) という規則を用いたのち, (log a)(log b)(log c)>0 で両辺割れば
{log(c/b)}/log(a)+{log(a/c)}/log(b){log(b/a)}/log(c)>0
最後に logB/logA=log[A](B) という規則を用いれば与式となる.
996: 2009/06/19(金)00:40 AAS
>>994
(1) 1+ab > a+b:
(1-a)(1-b)>0を展開.
(2) 1+2abc > ab+bc+ca
(1)式両辺にcを乗じると c+abc > ca+bc=(与右辺)-ab
両辺に (1-c+abc) を足すと (与左辺)>(与右辺)-ab+(1-c+abc)
最後の部分 abc+1-ab-c は(1)を用いると0より大きいので,結局上式の右辺は与右辺より大きくなり(2)が成立.
(∵ 0<a,b,c<1より0<ab,c<1)
一般化すると
1+(n-1)(a1a2…an)>Σ[j=1,n]{(a1a2…an)/aj} (0<ai<1) ――― (*)
省15
997: 2009/06/19(金)05:00 AAS
二年三十七日。
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