[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第３章 (1001ﾚｽ)
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456(3): 2008/08/21(木)18:36 AAS
ｋ∈N、ｔ≠0 のとき、
｜(d^k/dt^k) exp｛-1/(t^2)｝｜≦ ｛(2^k・k! / (｜ｔ｜^k)｝ exp｛-4/(81t^2)｝
を示せ。
457: 2008/08/21(木)22:17 AAS
AA省
458(2): 2008/08/21(木)22:39 AAS
0<θ<π/4のとき不等式
(cosθ)^(cosθ)＞(sinθ)^(sinθ)
を示せ。
459(1): 2008/08/21(木)23:30 AAS
>>458
この範囲において
cosθ＞sinθ
よって不等式は明らか
460(3): 2008/08/22(金)01:40 AAS
x1,x2,x3,a1,a2,a3は実数。
x1≧0,x2≧0,x3≧0、
a1+a2≧0,a2+a3≧0,a1+a3≧0とする。
x1+x2+x3=1のとき、
a1x1+a2x2+a3x3≧a1(x1)^2+a2(x2)^2+a3(x3)^2を示せ。
(2)正の実数x,yに対し
√x＋√y≦k√(2x+y)が成り立つような実数kの最小値を点と直線の距離公式を用いて求めよ。
461: 2008/08/22(金)07:16 AAS
>>460
学校の宿題は自分で考えましょうね
462(1): 2008/08/22(金)07:30 AAS
>>459
ｘ＾ｘは単調増加ではない。
463: 2008/08/22(金)11:48 AAS
>>462
ですよね
464: 2008/08/22(金)17:44 AAS
cosxと(sinx)^tanxのグラフを書いて・・・
力技過ぎるか
465: 2008/08/22(金)18:17 AAS
対数とって考えてみるか・・・
466(2): 2008/08/22(金)21:43 AAS
f(θ) =log (cosθ)^(cosθ) -log (sinθ)^(sinθ)
を微分したら単調性は自明。
多分 0 < θ < π/4 の条件はもっと弱くできると思う。
467: 466 2008/08/22(金)21:45 AAS
最後の1行は勘違い。
468: 466 2008/08/22(金)21:49 AAS
全部勘違いだ〜
469(1): 2008/08/23(土)00:41 AAS
>>460(1)解説よろ
470(1): 2008/08/23(土)07:00 AAS
>>458
0≦t≦1 とする。
f(t) = (1/2)log(1+t^2) + log(1/√2)･t,
とおくと
f(0) = f(1) = 0,
f "(t) = (1-t^2)/(1+t^2)^2 ≧0,
f(t) ≦ 0 (0≦t≦1)
t=tanθ とおいて
log(cosθ) ≧ tanθ･log(1/√2),
cos(x) >0 を掛けて
省1
471: 2008/08/23(土)07:36 AAS
>>460(1) ,>>469
(左辺) - (右辺) = a1･x1(1-x1) + a2･x2(1-x2) + a3･x3(1-x3)
= a1･x1(x2+x3) + a2･x2(x3+x1) + a3･x3(x1+x2)
= (a1+a2)x1･x2 + (a2+a3)x2･x3 +(a3+a1)x3･x1 ≧0,
>>460(2)
2x=u^2, y=v^2 とおく。
(k^2)(u^2 + v^2) - (u/√2 + v)^2 = (k^2 -1/2)u^2 -(√2)uv + (k^2 -1)v^2,
が常に≧0である条件は相異なる2実根をもたないこと。
判別式 D' ≦0,
D' = 1/2 - (k^2 -1/2)(k^2-1) = (k^2)(3/2 - k^2),
省1
472: 2008/08/23(土)09:16 AAS
>>470
見事な攻撃だ、たけちゃんまん。
ｆ（ｔ）≧ｇ（ｔ） を示すより、ｆ（ｔ）≧ｈ（ｔ） かつ ｈ（ｔ）≧ｇ（ｔ） を示す方が簡単な ｈ（ｔ） を作ってくる眼力には脱毛だぁ
473(1): 2008/08/23(土)21:54 AAS
>>454
f(x) = sin(x) - x + (1/6)x^3,
とおくと
f '"(x) = -cos(x) +1 ≧ 0,
これと f "(0) =0 から,
x･f "(x) = x{-sin(x) +x} > 0,
これと f '(0) =0 から,
f '(x) = cos(x) -1 +(1/2)x^2 > 0,
これと f(0) =0 から,
x･f(x) > 0,
省8
474(1): 2008/08/23(土)23:55 AAS
>>473
マクローリンの ３次＋剰余項 で自明でないの。
475: 2008/08/24(日)00:10 AAS
>>474
ええじゃん。
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