[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第３章 (1001ﾚｽ)

不等式への招待 第３章 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/

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661: １３２人目の素数さん [sage] 2008/11/26(水) 01:34:42 http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1227275638/700 1/π<x<πの時、 sinx･sin(1/x)の最大値を求めよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/661

662: １３２人目の素数さん [sage] 2008/11/26(水) 21:32:47 うるさい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/662

663: １３２人目の素数さん [sage] 2008/11/26(水) 22:31:04 　　　ｒ;;;;;ノヾ　　　　　　　　>>662 　　　ﾋ‐=r=;'　　　 　∬　　　口を慎みたまえ！ 　　　'ヽニ/　 っ━~~　　　 君は不等式王の前にいるのだぞ！ 　＿と~,,　 ~,,,ﾉ_　　∀　　　 　　　　ﾐ,,,,/~).　│ ┷┳━　 　￣￣￣.じ'Ｊ￣￣|　┃ 　￣￣￣￣￣￣￣　┻ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/663

664: １３２人目の素数さん [sage] 2008/11/27(木) 09:56:45 nCrｵﾀ向け �納k=0,n](k+2)*(k+1)*[2k+1]C[k]=？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/664

665: １３２人目の素数さん [sage] 2008/11/27(木) 23:22:39 >>661 [751] 微分法を使う。 　g(t) = log(sin(e^t))　とおくと 　g '(t) = (e^t)/tan(e^t) 　は単調減少(*)　 　g "(t) = −(e^t){1 - sin(e^t)cos(e^t)}/{sin(t)}^2 < 0, ∴ f は上に凸。 　log(与式) = f(log(x)) + f(-log(x)) ≦ 2f(0) = log{sin(1)^2} (*) {x/tan(x)} ' = 1/tan(x) - x/{sin(x)^2} = {sin(x)cos(x)-x}/{sin(x)^2} <0, 　　より、x/tan(x) は単調減少。 [763] 無限乗積表示（オイラー積表示）を使う。 sin(x) = x･Π[n=1,∞) {1−(x/nπ)^2}, 　{1−(x/nπ)^2}{1−1/(nπx)^2} = {1−1/(nπ)^2}^2 −(1/nπ)^2 (x−1/x)^2 ≦ {1−1/(nπ)^2}^2, 　等号成立は x=1 のとき, ∴ (与式) ≦ {sin(1)}^2. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/665

666: １３２人目の素数さん [sage] 2008/11/27(木) 23:24:24 >>664 それ本当に求まるのか？ Mathematicaにやらせてみたら -((2 + n)*(3 + n)*Gamma[5 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[1, 5/2 + n, 3 + n, 4] + 2*Gamma[7 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[2, 7/2 + n, 4 + n, 4] + 8*(7 + 2*n)*Gamma[6 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[3, 9/2 + n, 5 + n, 4])/(2*Gamma[3 + n]) になったぞ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/666

667: 665 [sage] 2008/11/27(木) 23:57:46 >>665 訂正 　f(x) = log(sin(x)) なので、 　log(与式) = f(x) + f(1/x) = g(log(x)) + g(-log(x)) ≦ 2g(0) = 2f(1) = log{sin(1)^2}, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/667

668: １３２人目の素数さん [] 2008/11/28(金) 05:13:49 みなさんは不等式の必須手法みたいなのを何で学びましたか？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/668

669: １３２人目の素数さん [sage] 2008/11/28(金) 23:42:33 >>668 おまえには教えてやらねーよ！ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/669

670: １３２人目の素数さん [sage] 2008/11/29(土) 00:20:54 不等式を制する者は解析を制する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/670

671: １３２人目の素数さん [sage] 2008/11/29(土) 12:07:58 △ABC の辺 a、b、c に対して、次式を示せ 　 3abc ≧ (b+c-a)a^2 + (c+a-b)b^2 + (a+b-c)c^2 　　　∧_∧　 　　_ ( ﾟ∀ﾟ)　　　　　　　　　　　　たぶん、出したことないと思う… 　|≡(つc□≡| 　`Ｔ￣∪∪￣Ｔ ﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞﾞ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/671

672: １３２人目の素数さん [sage] 2008/11/29(土) 18:50:59 >>664 　(k+2)(k+1) = (2k+3)(2k+2)/3 - (k+1)k/3, 　(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+1,k] = (1/3)(2k+3)(2k+2)*Ｃ[2k+1,k] - (1/3)(2k+1)(2k)*Ｃ[2k-1,k-1] 　　　　　　　　　　　　= (1/3)(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+3,k+1] - (1/3)(k+1)k*Ｃ[2k+1,k], 　(与式) = (1/3)(2n+3)(2n+2)*Ｃ[2n+1,n] = (1/3)(n+2)(n+1)*Ｃ[2n+3,n+1]. >>671 三角不等式の束縛からのがれるため b+c-a = a' >0,　c+a-b = b' >0,　a+b-c = c' >0, とおく。条件は a', b', c' >0 だけになった。両辺に 　a = (b'+c')/2,　b = (c'+a')/2,　c = (a'+b')/2, を代入すれば、 　(左辺) - (右辺) = (3/8)(st-u) - (1/4)(3u+st) = (1/8)(st-9u) ≧0, いつものように　s = a'+b'+c' = a+b+c,　t = a'b' + b'c' + c'a', u = a'b'c' とおいた。 等号成立は a'=b'=c' すなわち a=b=c のとき。 ハｧハｧ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/672

673: １３２人目の素数さん [sage] 2008/11/29(土) 19:19:09 >>671 移項したらSchur不等式････ 　(左辺) - (右辺) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = F_1 ≧0, 三角条件なくても成立････ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/673

674: １３２人目の素数さん [sage] 2008/11/29(土) 20:11:59 さすが。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/674

675: １３２人目の素数さん [sage] 2008/11/29(土) 21:13:11 問題を作ったときには (左辺)-(右辺)=(a-b)^2･(a+b-c)/2+(b-c)^2･(b+c-a)/2+(c-a)^2･(c+a-b)/2 から導いたと思われ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/675

676: 671 [sage] 2008/11/29(土) 22:30:45 毎度ながら、100歩前を行くレスに感心。 ありがとうございます。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/676

677: １３２人目の素数さん [sage] 2008/12/01(月) 20:28:22 1 ≤ a,b,c ≤ 2 のとき (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 6(a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)) たのもー(　^ิิ,_ゝ^ิ) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/677

678: １３２人目の素数さん [sage] 2008/12/01(月) 22:14:56 homogeneousなのに何で1<=a,b,c<=2が必要？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/678

679: １３２人目の素数さん [sage] 2008/12/02(火) 16:40:46 1≦a,b,c≦2がないと問題が成り立たないから http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/679

680: １３２人目の素数さん [sage] 2008/12/02(火) 20:31:05 別にk≦a,b,c≦2kでも良いけど いずれにせよ或る一定範囲内に三つとも入ってないといけなくて a=b=1、c=1000とかそういうのはダメってことでしょ。 それぞれa/kとかで置き換えて要らないkを消去したのが問題文と。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/680

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