[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第３章 (1001ﾚｽ)
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663: 2008/11/26(水)22:31 AAS
AA省
664(2): 2008/11/27(木)09:56 AAS
nCrｵﾀ向け
∑[k=0,n](k+2)*(k+1)*[2k+1]C[k]=？
665(1): 2008/11/27(木)23:22 AAS
>>661
[751] 微分法を使う。
g(t) = log(sin(e^t)) とおくと
g '(t) = (e^t)/tan(e^t) は単調減少(*)
g "(t) = －(e^t){1 - sin(e^t)cos(e^t)}/{sin(t)}^2 < 0,
∴ f は上に凸。
log(与式) = f(log(x)) + f(-log(x)) ≦ 2f(0) = log{sin(1)^2}
(*) {x/tan(x)} ' = 1/tan(x) - x/{sin(x)^2} = {sin(x)cos(x)-x}/{sin(x)^2} <0,
より、x/tan(x) は単調減少。
[763] 無限乗積表示（オイラー積表示）を使う。
省4
666: 2008/11/27(木)23:24 AAS
>>664
それ本当に求まるのか？
Mathematicaにやらせてみたら
-((2 + n)*(3 + n)*Gamma[5 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[1, 5/2 + n, 3 + n, 4] +
2*Gamma[7 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[2, 7/2 + n, 4 + n, 4] +
8*(7 + 2*n)*Gamma[6 + 2*n]*Hypergeometric2F1Regularized[3, 9/2 + n, 5 + n, 4])/(2*Gamma[3 + n])
になったぞ。
667: 665 2008/11/27(木)23:57 AAS
>>665 訂正
f(x) = log(sin(x)) なので、
log(与式) = f(x) + f(1/x) = g(log(x)) + g(-log(x)) ≦ 2g(0) = 2f(1) = log{sin(1)^2},
668(1): 2008/11/28(金)05:13 AAS
みなさんは不等式の必須手法みたいなのを何で学びましたか？
669: 2008/11/28(金)23:42 AAS
>>668
おまえには教えてやらねーよ！
670: 2008/11/29(土)00:20 AAS
不等式を制する者は解析を制する。
671(3): 2008/11/29(土)12:07 AAS
AA省
672(1): 2008/11/29(土)18:50 AAS
>>664
(k+2)(k+1) = (2k+3)(2k+2)/3 - (k+1)k/3,
(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+1,k] = (1/3)(2k+3)(2k+2)*Ｃ[2k+1,k] - (1/3)(2k+1)(2k)*Ｃ[2k-1,k-1]
= (1/3)(k+2)(k+1)*Ｃ[2k+3,k+1] - (1/3)(k+1)k*Ｃ[2k+1,k],
(与式) = (1/3)(2n+3)(2n+2)*Ｃ[2n+1,n] = (1/3)(n+2)(n+1)*Ｃ[2n+3,n+1].
>>671
三角不等式の束縛からのがれるため
b+c-a = a' >0 c+a-b = b' >0 a+b-c = c' >0
とおく。条件は a', b', c' >0 だけになった。両辺に
a = (b'+c')/2, b = (c'+a')/2, c = (a'+b')/2,
省5
673: 2008/11/29(土)19:19 AAS
>>671
移項したらSchur不等式････
(左辺) - (右辺) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = F_1 ≧0,
三角条件なくても成立････
674: 2008/11/29(土)20:11 AAS
さすが。
675: 2008/11/29(土)21:13 AAS
問題を作ったときには
(左辺)-(右辺)=(a-b)^2･(a+b-c)/2+(b-c)^2･(b+c-a)/2+(c-a)^2･(c+a-b)/2
から導いたと思われ
676: 671 2008/11/29(土)22:30 AAS
毎度ながら、100歩前を行くレスに感心。
ありがとうございます。
677(2): 2008/12/01(月)20:28 AAS
1 ≤ a,b,c ≤ 2 のとき
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) ≥ 6(a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b))
たのもー( ^ิิ,_ゝ^ิ)
678(1): 2008/12/01(月)22:14 AAS
homogeneousなのに何で1<=a,b,c<=2が必要？
679(1): 2008/12/02(火)16:40 AAS
1≦a,b,c≦2がないと問題が成り立たないから
680(1): 2008/12/02(火)20:31 AAS
別にk≦a,b,c≦2kでも良いけど
いずれにせよ或る一定範囲内に三つとも入ってないといけなくて
a=b=1、c=1000とかそういうのはダメってことでしょ。
それぞれa/kとかで置き換えて要らないkを消去したのが問題文と。
681: 2008/12/03(水)03:15 AAS
>>677 , 679
>>341 の [A.435] でつね。
>>394 いわく、
とりあえず、>>373-374 が解ければ [A.435] が解けることが分かった。
>>576 は微分法（未定乗数法）でそれを解こうとしたようだが････
682: 2008/12/03(水)11:48 AAS
もっとすきっとした解法はないもんかねぇ
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