[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第３章 (1001ﾚｽ)
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996: 2009/06/19(金)00:40 AAS
>>994
(1) 1+ab > a+b：
(1-a)(1-b)>0を展開．

(2) 1+2abc > ab+bc+ca
(1)式両辺にcを乗じると c+abc > ca+bc=(与右辺)-ab
両辺に (1-c+abc) を足すと (与左辺)>(与右辺)-ab+(1-c+abc)
最後の部分 abc+1-ab-c は(1)を用いると0より大きいので，結局上式の右辺は与右辺より大きくなり(2)が成立．
(∵ 0<a,b,c<1より0<ab,c<1)

一般化すると
1+(n-1)(a1a2…an)>Σ[j=1,n]{(a1a2…an)/aj} (0<ai<1) ――― (*)
右辺は a1〜an の積が1項欠けたモノの和．

帰納法で示す．n=2 の場合は(1)で示した．
今 n で成り立つとする．
(*)の両辺に a(n+1) を乗じると
a(n+1)+(n-1)(a1a2…an･a(n+1)) > a(n+1) {Σ[j=1,n]{(a1a2…an)/aj}} = Σ[j=1,n+1]{(a1a2…an･a(n+1))/aj}-(a1a2…an)
両辺に 1-a(n+1)+(a1a2…an･a(n+1) を足すと
(左辺)=1+n(a1a2…an･a(n+1))
(右辺)=Σ[j=1,n+1]{(a1a2…an･a(n+1))/aj}+[1+(a1a2…an･a(n+1)-a(n+1)-(a1a2…an)]
0<ai<1 より 0<a(n+1),(a1a2…an)<1 がいえて，右辺第2項に(1)を用いれば
(右辺)＞Σ[j=1,n+1]{(a1a2…an･a(n+1))/aj}
以上合わせて 1+n(a1a2…an･a(n+1))>Σ[j=1,n+1]{(a1a2…an･a(n+1))/aj}
となり n+1 でも成立

【コメント】
(2)(3)ともにaについて整理してて，前の結果を変形してやれば (n-1)(a1a2…an) が出ることに気付いた．
(a1a2…an) 足りないけど気にせずやってたらいい感じに．

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