[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第３章 (1001ﾚｽ)

不等式への招待 第３章 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/

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522: １３２人目の素数さん [] 2008/09/15(月) 22:19:32 ∫[0→1]dx/(1+x^2*e^x)>1/(e-1) x+y+z=1,x>0,y>0,z>0のとき (x^x)(y^y)(z^z)≧1/3 △ABCの内部に点Pをとり，△ABCの面積をSとおけば PA+PB+PC≧2(3S^2)^(1/4) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/522

526: １３２人目の素数さん [sage] 2008/09/17(水) 00:56:06 >>522 (上) コーシーの不等式より 　∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx * ∫[0→1] 1/{1+(x^2)(e^x)} dx ≧ {∫[0→1] dx}^2 = 1, 　∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx = [ x + (x^2 -2x+2)(e^x) ](0→1) = e-1, (中) 　f(x) = x･log(x) とおく。 　f "(x) = 1/x >0 だから、fは下に凸。 　f(x) + f(y) + f(z) ≧ 3f((x+y+z)/3) = 3f(1/3) = log(1/3). この真数をとる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/526

529: １３２人目の素数さん [sage] 2008/09/18(木) 07:08:59 >>522 (下) (Toth の証明) 　Pの辺BC,CA,ABに関する対称点をA',B',C'とし、6辺形AC'BA'CB'を考える。 　周長L=2(AP+BP+CP), 面積F=2S, 　一方、等周問題から、n辺形については、L^2 ≧ {4n*tan(π/n)}F, 　n=6 のとき L^2 ≧ (8√3)F, これに代入。 文献[3] 例題9, p.17 (1987) 大関・青柳「不等式」p.162 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/529

532: １３２人目の素数さん [sage] 2008/09/18(木) 22:04:08 >>522 (上) の別解 e^x ≦ e < 3 より 　(左辺) > ∫[0→1] 1/(1+3x^2) dx = (1/√3)∫[0→√3] 1/(1+y^2) dy = (1/√3)arctan(√3) = π/(3√3) > 3/5, 一方、e > 2 + 2/3 より 　(右辺) < 3/5. >>528 　XY - b(X+Y-b) = (b-X)(b-Y) ≧ 0,　　････ (1) 　Z(a+b-Z) - ab = (b-Z)(Z-a) ≧ 0,　　････ (2) 　X+Y+Z -a -2b = 0,　 　　　　　　　　････ (3) (1)*Z + (2)*b + (3)*bZ より 　XYZ - ab^2 ≧ 0. 等号成立は (X,Y,Z)=(a,b,b) (b,a,b) (b,b,a) のとき。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/532

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