[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第３章 (1001ﾚｽ)
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522(3): 2008/09/15(月)22:19 AAS
∫[0→1]dx/(1+x^2*e^x)>1/(e-1)

x+y+z=1,x>0y>0z>0のとき
(x^x)(y^y)(z^z)≧1/3

△ABCの内部に点Pをとり，△ABCの面積をSとおけば
PA+PB+PC≧2(3S^2)^(1/4)

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526: 2008/09/17(水)00:56 AAS
>>522

(上) コーシーの不等式より
　∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx * ∫[0→1] 1/{1+(x^2)(e^x)} dx ≧ {∫[0→1] dx}^2 = 1,
　∫[0→1] {1+(x^2)(e^x)}dx = [ x + (x^2 -2x+2)(e^x) ](0→1) = e-1,

(中)
　f(x) = x･log(x) とおく。
　f "(x) = 1/x >0 だから、fは下に凸。
　f(x) + f(y) + f(z) ≧ 3f((x+y+z)/3) = 3f(1/3) = log(1/3).
この真数をとる。

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529: 2008/09/18(木)07:08 AAS
>>522 (下)

(Toth の証明)
　Pの辺BC,CA,ABに関する対称点をA',B',C'とし、6辺形AC'BA'CB'を考える。
　周長L=2(AP+BP+CP), 面積F=2S,

　一方、等周問題から、n辺形については、L^2 ≧ {4n*tan(π/n)}F,
　n=6 のとき L^2 ≧ (8√3)F, これに代入。

文献[3] 例題9, p.17 (1987)
大関・青柳「不等式」p.162

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532: 2008/09/18(木)22:04 AAS
>>522
(上) の別解
e^x ≦ e < 3 より
　(左辺) > ∫[0→1] 1/(1+3x^2) dx = (1/√3)∫[0→√3] 1/(1+y^2) dy = (1/√3)arctan(√3) = π/(3√3) > 3/5,
一方、e > 2 + 2/3 より
　(右辺) < 3/5.

>>528
　XY - b(X+Y-b) = (b-X)(b-Y) ≧ 0,　　････ (1)
　Z(a+b-Z) - ab = (b-Z)(Z-a) ≧ 0,　　････ (2)
　X+Y+Z -a -2b = 0,　 　　　　　　　　････ (3)
省3

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