くだらねぇ問題はここへ書け (836ﾚｽ)
くだらねぇ問題はここへ書け http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1412425325/
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520: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/13(木) 17:39:51.05 ID:KhggCoPs 〔出題２〕 (1) A = √(N+1) + √(N - 1/2) + √(N - 1/2), B = √(N-1) + √(N + 1/2) + √(N + 1/2), とおくとき 3√N > A > B を示せ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1412425325/520
521: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/13(木) 17:43:40.02 ID:KhggCoPs (左側) (二乗平均) > (相加平均) で。 (右側) A - B = {√(N+1) - √(N-1)} - 2{√(N+1/2) - √(N-1/2)} = 2/{√(N+1) + √(N-1)} -2/{√(N+1/2) + √(N-1/2)} > 0, 〔補題1〕 √(N+1/2) + √(N-1/2) > √(N+1) + √(N-1), (略証) g(x) = √(N+x) は上に凸（g " <0）だから √(N+1/2) > (3/4)√(N+1) + (1/4)√(N-1), √(N-1/2) > (1/4)√(N+1) + (3/4)√(N+1), 辺々たす。 または {√(N+1/2) + √(N-1/2)}^2 - {√(N+1) + √(N-1)}^2 = 2{N + √(NN -1/4)} - 2{N + √(NN-1)} = 2{√(NN -1/4) - √(NN-1)} > 0, http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1412425325/521
522: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/13(木) 17:47:17.38 ID:KhggCoPs (右側) g(x) = √(N+x) とおくと A - B = {g(1) + 2g(-1/2)} - {2g(1/2) + g(-1)} = (1/4) g '''(r) (補題2) = (3/32)(N+r)^{-5/2} > 0, 〔補題2〕 g(x) は(-1,1) において3回微分可能 とする。然らば g(1) - 2g(1/2) + 2g(-1/2) - g(-1) = (1/4)g'''(r), -1<r<1 なるｒが存在する。 （平均値の定理を3回使う) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1412425325/522
523: １３２人目の素数さん [sage] 2020/08/13(木) 17:52:33.37 ID:KhggCoPs 〔出題２〕 (2) √2 + √z ≒ y となる自然数 y,z を見つけよ。 --------------------------------- xx - 2yy = -1 ならば (xx +5 -4x)/2 = yy + 2 - (2√2)y - 2(x-y√2) = (y-√2)^2 + 2/(x+y√2), ∴ √2 + √{(xx +5 -4x)/2} = y + 1/{(x+y√2)(y-√2)} + … ≒ y, xx - 2yy = 1 ならば (xx +3 -4x)/2 = yy + 2 - (2√2)y - 2(x-y√2) = (y-√2)^2 - 2/(x+y√2), ∴ √2 + √{(xx +3 -4x)/2} = y - 1/{(x+y√2)(y-√2)} + … ≒ y, 例） x = ((1+√2)^n + (1-√2)^n)/2, y = ((1+√2)^n - (1-√2)^n)/(2√2), は「ペル方程式」 xx - 2yy = (-1)^n をみたす。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1412425325/523
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