現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net

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628: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/13(土) 23:51:43.16 ID:hlNpoH8z

>>614-616
外しているかも知れないが

>べき根による拡大体で分解体を含む場合、分解体が基礎体の正規拡大になるって理屈がよくわからないんですが

「分解体が基礎体の正規拡大になる」は、下記によれば正規拡大の定義そのままでは？
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E8%A6%8F%E6%8B%A1%E5%A4%A7
体の代数拡大 L/K は、L が K[X] の多項式の族の分解体(splitting field)であるときに、正規（英: normal）という。ブルバキはそのような拡大を準ガロワ拡大(quasi-Galois extension) と呼んでいる。
他の性質
L を体 K の拡大とすると、
・    L が K の正規拡大で E が中間体（すなわち L ⊃ E ⊃ K）であれば、L は E の正規拡大である。E は K の正規拡大とは限らない。
・    E と F が L に含まれる K の正規拡大であれば、合成体 EF および共通部分 E ∩ F も K の正規拡大である。
（引用おわり）

あと、べき根による拡大体について
アルティンのガロア理論（ガロア対応）を既知とすると
べき根による拡大体で分解体を含む場合、分解体のガロア群がアーベルにならないかな？
べき根拡大は、巡回群で、アーベル群だと（下記）

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E6%A0%B9
冪根拡大
K を体とし、a ∈ K の任意の 1 つの冪根 α = n√a を添加する拡大 K(α)/K を K の冪根拡大 (radical extension) という。
もし K が 1 の原始 n 乗根を含むなら拡大体 K(α) は二項多項式 x^n ? a の最小分解体となり、この二項多項式は重根を持たないので拡大はガロア拡大となる。
これをクンマー拡大 (Kummer extension) と呼ぶ。クンマー拡大は巡回拡大でその拡大次数は n の約数である。
逆に n の約数 d に対し、拡大次数が d であるような巡回拡大 L/K は、K が 1 の原始 n 乗根を含むという仮定の下で、クンマー拡大である。
このことから、ある方程式が係数に対して四則演算と冪根を添加する操作を有限回繰り返すことで解ける（代数的に可解である）ならば、ガロア群は巡回群のみからなる組成列を持たなければならないことになる。
この性質は、抽象群に対して可解群の概念として定式化される。

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/628

630: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/14(日) 06:13:27.89 ID:Vl116sFU

>>628
ご参考
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A1%E5%9B%9E%E7%BE%A4
巡回群

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%AF%E8%A7%A3%E7%BE%A4
（抜粋）
数学、特に群論の分野において、可解群（かかいぐん、英: solvable group）は、群の拡大を用いてアーベル群から構成できる群のことである。

有限群の場合は、同値な定義として「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」というものもある。
有限群の組成列の長さは有限であり、全ての単純アーベル群は素数位数の巡回群であるため、この定義は上の定義と同値である。
ジョルダン・ヘルダーの定理より、一つの組成列が上記の性質を持つ場合、すべての組成列は同様に上記の性質を持つことが保証される。
多項式のガロア群の場合は、巡回群はある体の上の冪根に対応する。無限群の場合は必ずしも同値ではない。

より一般的に、すべての冪零群は可解群である。特に、有限p-群は冪零群であるため可解群である。
冪零群ではないが可解群である位数の小さい群の一例は、対称群S3である。 実は、位数最小の非アーベル単純群が5次の交代群A5であり、従って位数60未満のすべての群は可解である。

関連する概念
有限生成群に限って議論すれば、群のクラスには以下のような強さの関係がある(右側ほど強い条件である):

巡回群 < アーベル群 < 冪零群 < 超可解群 < 多重巡回群（英語版） < 可解群 < 有限生成群

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%A4%E4%BB%A3%E7%BE%A4
（抜粋）
交代群
群 A4 はクラインの4元群 V を真の正規部分群として持つ。
V は A4 に属するふたつの互換の積として書ける元の全体 {(12)(34), (13)(24), (14)(23)} であり、列 V → A4 → A3 (= C3) は完全である。
ガロワ理論によればこの写像、あるいはこれに対応する S4 → S3 に、四次方程式のフェラリの解法における（三次の）ラグランジュ分解方程式（分解方程式の根によって四次方程式を解くことができる）が対応している。

例外的な同型
小さい位数の交代群とリー型の群（とくに特殊射影線型群）との間には例外的な同型（英語版）と呼ばれる対応が取れるものがある。
A4 は PSL2(3) に同型である。また鏡像異種正六面体の対称性の群とも同型である。

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/630

632: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2015/06/14(日) 06:46:40.74 ID:Vl116sFU

>>631 つづき

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%AE%9A%E7%90%86
(抜粋)
ガロア理論の基本定理(fundamental theorem of Galois theory)は、体の拡大の構造を記述した結果である。

定理の最も基本的な形は、有限次ガロア拡大である体の拡大 E/F が与えられると、1:1の対応が中間体とガロア群の部分群の間に存在する。
（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）

証明
基本定理の証明は、自明なことではない。通常の扱いで最も重要な点は、エミール・アルティン（ドイツ語版、英語版）(Emil Artin)のむしろ微妙でデリケートな結果であり、与えられた自己同型群により固定された中間体の次元を制御することができる。
ガロア拡大 K/F の自己同型群は、体 K 上の函数として線型独立である。この事実は、より一般的な事実である指標の線型独立性から従う。

対応の性質
体 EH は F の正規拡大であること（同じことであるが分離拡大の部分拡大は分離的であるのでガロア拡大である）と、H が Gal(E/F) の正規部分群であることとは同値である。
この場合は、Gal(E/F) の元の EH への制限は、Gal(EH/F) と商群 Gal(E/F)/H の間の群同型を引き起こす。

応用
この定理は拡大体 E/F の中間体の分類という難しく聞こえる問題を、ある有限群の部分群を列挙せよというより扱い易い問題へ変換している。

例えば、一般の五次方程式は冪根によって解けない（アーベル-ルフィニの定理を参照）ことを証明するため、
まず最初に、根基による拡大（英語版）(radical extension)（α を F のある元の n 乗根としたときに F(α) となるような拡大）により問題を言い換え、この基本定理を使い、根基拡大の問題を直接対応できる群の問題へ変換する。

クンマー理論と類体論のような理論は、この基本定理から予想することができる。

http://wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/632

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