[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む13 [転載禁止]©2ch.net (654ﾚｽ)
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629: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/14(日)00:01 ID:Vl116sFU(1/12) AAS
訂正
>>623
有理数は，整数，有限峨，循環峨のいずれかで表される.乙れを証明せよ
↓
有理数は，整数，有限小数，循環小数のいずれかで表される.これを証明せよ
（補足：PDFのOCR読み取り機能を使ったら、文字化けした。ワードなどのスペルチェックを掛けるべきだった・・）
630(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/14(日)06:13 ID:Vl116sFU(2/12) AAS
>>628
ご参考
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
巡回群
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
（抜粋）
数学、特に群論の分野において、可解群（かかいぐん、英: solvable group）は、群の拡大を用いてアーベル群から構成できる群のことである。
有限群の場合は、同値な定義として「組成列においてすべての商が素数位数の巡回群である」というものもある。
有限群の組成列の長さは有限であり、全ての単純アーベル群は素数位数の巡回群であるため、この定義は上の定義と同値である。
ジョルダン・ヘルダーの定理より、一つの組成列が上記の性質を持つ場合、すべての組成列は同様に上記の性質を持つことが保証される。
省15
631(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/14(日)06:45 ID:Vl116sFU(3/12) AAS
>>630 つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
(抜粋)
ガロア理論によれば、"ガロア拡大" と呼ばれる体の代数拡大について、 拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。
より発展的な定式化
抽象代数学においては、方程式とその分解体という具体的な対象を一旦放棄して、抽象的に定義された体の代数的拡大を取り扱うことになる。
上と同様に拡大体の自己同型と部分群の間の対応がうまくいくように、分離性と正規性とよばれる二つの条件が要求される。
この二つを満たすような拡大は ガロア拡大 (Galois extension) と呼ばれる。
632(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/14(日)06:46 ID:Vl116sFU(4/12) AAS
>>631 つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
(抜粋)
ガロア理論の基本定理(fundamental theorem of Galois theory)は、体の拡大の構造を記述した結果である。
定理の最も基本的な形は、有限次ガロア拡大である体の拡大 E/F が与えられると、1:1の対応が中間体とガロア群の部分群の間に存在する。
（中間体とは、F ⊆ K ⊆ E を満たす体のことを言う、それらを E/F の部分拡大と言う。）
証明
基本定理の証明は、自明なことではない。通常の扱いで最も重要な点は、エミール・アルティン（ドイツ語版、英語版）(Emil Artin)のむしろ微妙でデリケートな結果であり、与えられた自己同型群により固定された中間体の次元を制御することができる。
ガロア拡大 K/F の自己同型群は、体 K 上の函数として線型独立である。この事実は、より一般的な事実である指標の線型独立性から従う。
対応の性質
省7
633: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/14(日)07:19 ID:Vl116sFU(5/12) AAS
>>632 つづき
ガロア理論の基本定理（ガロア対応）
”体の分離かつ正規拡大（分解体(splitting field)）” VS ”H が Gal(E/F) の正規部分群”
正規の定義は、体と群で定義が違う。が、どちらも、”normal ”を使う
突然ですが和英。正規の訳にもいろいろあるが
外部ﾘﾝｸ:ejje.weblio.jp
正規 JMdict
対訳 regular; normal; formal; legal; established; legitimate
突然ですが英和。要は、”normal ”は日常語で、「正常な」という意味もある
外部ﾘﾝｸ:ejje.weblio.jp
省2
634(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/14(日)07:25 ID:Vl116sFU(6/12) AAS
>>628
ここに戻る
>べき根による拡大体で分解体を含む場合、分解体が基礎体の正規拡大になるって理屈がよくわからないんですが
”べき根による拡大体について
アルティンのガロア理論（ガロア対応）を既知とすると
べき根による拡大体で分解体を含む場合、分解体のガロア群がアーベルにならないかな？
べき根拡大は、巡回群で、アーベル群だと（下記）”
とコメントした
そのこころは、
べき根による拡大体で分解体を含む場合→べき根拡大は巡回群
省4
635: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/14(日)07:38 ID:Vl116sFU(7/12) AAS
>>624 補足
「大学への数学」 6月号 にも大阪大学(前期) 理学部 数学（挑戦枠）問題と解説>>610
にも、スターリングの公式とウォリスの公式についての言及があるね
636(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/14(日)10:14 ID:Vl116sFU(8/12) AAS
別件の検索でヒットしたものだが
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.ritsumei.ac.jp
New! Archiv/Re-edited/2015/5/15[PDF] より
最近の言葉
(2008/6/20)
たしかに、後の世代が前の世代のことを全部学習するとなると、呆然とし
てしまう。とくに、若い人にとって現在の最前線に追いつくだけで精一杯と
いうことでまったく大変だ。でも、しばらく様子をみていると、最前線とい
うのは、じつは「細前線」であるということがわかる。つまり大部分が枝葉
末節をやっているのだ。勉強ではなくて自分独自のものをやるのが研究だと
省11
637: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/14(日)10:21 ID:Vl116sFU(9/12) AAS
>>636 つづき
マンフォードの言葉
（2008/6/6 記)
マンフォードは数学が、過度の抽象化に陥ることの危険性を警告している。
以下、それを敷衍してみる。
数学（および理論、数理物理においても）において、ある概念が発見されると、研究者はなかば本能的にその概念をできるだけ一般化しようと試みるものだ。
グロタンディークの数学というのはまさにそれを絵に描いたようなものである。
それは極端な抽象化といっていいだろう。
こういう抽象的なものは、とくに若い世代をひきつける。それゆえグロタンは、一定の期間若い数学者の英雄（または教祖）でありえた。
しかし、祭りが去ったようである。まさに、この過度な抽象化が、災いしたといえるかもしれない。
省13
638(1): 2015/06/14(日)10:24 ID:SlAs+kqN(1/3) AAS
2番は、式の形を見たけど、背景知らないと、多分制限時間内になんか解けない。
(1)が多分1番難しい。少しどうやって三角関数の不等式を使って
lim_{+∞}(b_n)＝√πを導くのか考えたが、全然簡単じゃない。
全体的に不自然な流れの証明になっている。(2)は不要。
自分で高校レベルの知識だけで最初っから考えろって話になると、鬼畜の入試。背筋凍る問題だわ。
反対に、大学のテキストでしっかり学習しておくと、発想が得易くなる。
639: 2015/06/14(日)10:29 ID:SlAs+kqN(2/3) AAS
>>638の訂正：lim_{+∞}(b_n)＝√π→lim_{n→+∞}(b_n)＝√π
640: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/14(日)10:46 ID:Vl116sFU(10/12) AAS
これも別件の検索でヒットしたものだが
（下記神戸大 高山先生と思います）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:fe.math.kobe-u.ac.jp
付録E 講義のための補足ノート?東京大学
大学院集中講義
E.1 2007-05-29
Leck1/2.tex
E.1.1 今回の概要と数学の題材
E.1.2 Knoppix/Math のブート(起動方法) の仕方
外部ﾘﾝｸ[pdf]:fe.math.kobe-u.ac.jp
省5
641: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/14(日)11:13 ID:Vl116sFU(11/12) AAS
>>638-634
どうも。スレ主です。
”lim_{n→+∞}(b_n)＝√π” この書き方良いかも（本来２行の下添え字のところ）
>2番は、式の形を見たけど、背景知らないと、多分制限時間内になんか解けない。
>(1)が多分1番難しい。
そういえば、 外部ﾘﾝｸ[pdf]:kaisoku.kawai-juku.ac.jp の解答例を見ると、(1)が長いね
>反対に、大学のテキストでしっかり学習しておくと、発想が得易くなる。
そういうレベルを狙っているのかも
省3
642: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2015/06/14(日)11:29 ID:Vl116sFU(12/12) AAS
>>634 補足
>巡回群の部分群はすべて正規
>そこから、「正規拡大になるって理屈」を納得するという線もありだろうと思った次第です
数学は、つまづくところが各人違う。だが、そこでじっくり考える。あるいは、先へ進む、その後戻る。人それぞれ
私のお薦めは、はやく全体像を掴むこと。ガロア理論の基本定理（ガロア対応）：”体の分離かつ正規拡大（分解体(splitting field)）” vs ”H が Gal(E/F) の正規部分群”
体 vs 群の対応をつけるために、エミール・アルティンのむしろ微妙でデリケートな結果がある。つまり、分離性だとか分解性だとか
そして、べき根拡大 vs 巡回群 を先取りする。そうすれば、高い立場で全体を俯瞰できると思うんだよね
そして、さらにガロア理論を広く解釈すれば、下記のようにある数学的対象と、それと対になる良く分かった代数的対象を見つけてくる理論
それが、現代数学の立場で、原ガロア理論（代数方程式の理論）はそのモデルになったと。では
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
省2
643(1): 2015/06/14(日)13:12 ID:SlAs+kqN(3/3) AAS
ピカール・ヴェッシオ理論とかいう理論だったかな。
その線型常微分方程式版のガロア理論は代数解析より前にあって、
それから、代数解析によるガロア理論が発展したんです。
ピカール・ヴェッシオ理論から、もう一方で微分代数も独自に発展したんです。
体だと、拡大体や中間体、部分体という用語はあるのに、
群だと、部分群はあっても、拡大群や中間群という用語はないのな。
環も同じ。あるのは部分環だけ。
644: 2015/06/14(日)18:34 ID:uP0bLdtV(1) AAS
スレ主さんはチンポデカいのか？
645: 2015/06/14(日)19:49 ID:GaRTV0pt(1) AAS
めっちゃでかいよ
646: 2015/06/14(日)20:51 ID:BQIgIIUL(1) AAS
チンポめっさ臭いッス
647: 2015/06/14(日)20:59 ID:FpHs03Lb(1) AAS
チンポは凸
648(1): 2015/06/16(火)19:01 ID:a1EkKwzR(1) AAS
ピカール・ヴェッシオに関するURLが週末に5つくらい貼られるんだろうな
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