[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む21 [無断転載禁止]©2ch.net (808ﾚｽ)
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2(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)21:13 ID:A9zfkBNj(2/26) AAS
￥さん、どうも。皆さん、どうも。スレ主です。
前スレでは、お疲れさまです
お陰さまでこのスレも21になりました。世紀に追いつきました（＾＾；
3(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)21:45 ID:A9zfkBNj(3/26) AAS
￥さん、前スレの最後でご活躍でしたね
￥さんの発言は、面白いけど過激だね（＾＾；
4(24): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)21:52 ID:A9zfkBNj(4/26) AAS
前スレより引用
613 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/09(土) 12:42:17.08 ID:Vo9e95n/ [4/35]
>>538
ID:f9oaWn8Aさん、どうも。スレ主です。
えらく確率論に詳しいね。よって、”確率論の専門家”と呼ばせて貰おう
”確率論の専門家”のご意見は、>>512-538それと日付が変わって>>542-564のID:1JE/S25Wさんの発言だ
（”確率論の専門家”の意見要約）>>512-538 >>542-564
１．時枝氏の方法は「確率は計算できない」が今の確率論の答えだと思う．
２．時枝氏の解法は，現在の測度論から導かれる解釈のほうが自然．（当てられっこないという直感どおり，実際当てられないという結論が導かれる）
３．「無限族の独立性の定義は微妙」は、そもそも時枝氏の勘違い．時枝氏の考える独立の定義と，現代の確率論の定義は可算族に対しては同値である
省3
5(8): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)21:53 ID:A9zfkBNj(5/26) AAS
614 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/09(土) 12:43:50.82 ID:Vo9e95n/ [5/35]
>>613 続き
さて
１．これを受けてTさん（元TAさん）「問題は>565をどう考えるかに絞られている」>>603
２．おっちゃん「ちなみに、時枝問題の話はまだ終わっていないと思う。」「時枝氏の方法で「確率が計算できる」ような確率論の公理の体系を築け
という新たな問題が生じるだろう。」>>584
３．\さん「そういう風に考えなければ、数学はこのまま死んでしまう。ソレはアカン。」>>585、
「『Kolmogorovが近代確率論を成立させるに当たり、当時出来上がったばかりの測度論を使ってしまった』という部分を、そろそろ「もう一度見直す時期に来ている」」>>549、
「あの当時とは違って、今はゲーム理論とかAI（NNみたいな学習理論とか）、また流行りのファイナンスとか、そういうのが『Kolmogorovの公理系からははみ出してる』という印象」>>201
「だから時枝さんの議論は（その細部はさて置き）非常に求められている問題意識ではないかと。」>>201
省1
6(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)21:54 ID:A9zfkBNj(6/26) AAS
615 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/09(土) 12:46:57.32 ID:Vo9e95n/ [6/35]
>>491-492
数学的帰納法について再度まとめておく（一次のまとめ>>27-29）
（数学的帰納法に反例があるなどと、変な話を残しておきたくないのでね）
１．まず、ここ「数学的帰納法で導く結論は、必ず正しい」から
外部ﾘﾝｸ:www.juku.st
【数学講師向け】わかりやすく教えよう！数学的帰納法と演繹法 2014年06月24日
(抜粋)
数学的帰納法は演繹法である
確かに、数学的帰納法は帰納的に見えます。
省8
7(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)21:54 ID:A9zfkBNj(7/26) AAS
616 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/09(土) 12:47:52.62 ID:Vo9e95n/ [7/35]
>>615 つづき
２．さて、時枝解法成立派>>327が、”「１．任意の有限個の開集合の共通部分は開集合であることを示せ、２．無限個の開集合の共通部分は開集合とは限らないことを示せ」（「数学的帰納法は不完全であると言える。・・ その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ。」前スレ >>382）”>>27と言い出した
３．主張の趣旨は、多分「ここに関しては「任意の有限部分族が独立のとき、独立」という定義そのものが有限の極限として扱うって立場だろうってことだと思う
だから同値なのは当たり前
そうじゃなくて"有限個のときみたいに無限個を全部眺めて独立性を判断する"ような扱いをすれば直観に根ざした結論が得られるだろう」>>544 (…と思ったけど(1)と(2)の二つの方針が可能であるって言ってるから読み違えてる気がしてきた)>>544
と。つまり、（）内のカミングアウトのように、読み違えか、”そもそも時枝氏の勘違い”に乗せられたんだろう
４．で、時枝解法成立派が強硬に主張していた”数学的帰納法は不完全”は、あっさり>>538で「確率変数の独立性というのは，可算族に対しては(1)も(2)も同値となる」と、”確率論の専門家”さんに否定的に証明されてしまった
５．だから、これを受け入れるなら、時枝解法成立派の強硬な主張もその必要がなくなるのだった
６．では、一見数学的帰納法は不完全に見える、位相（topology）の例はどう考えれば良いのか？ ”スレ主さんは∩_{n∈N}U_nの定義がよくわかってない感じですね．”>>516と”確率論の専門家”さんからご指摘のように、「数学的帰納法で導く結論は、必ず正しい」をうまく説明出来ていなかったのは確かだ
省1
8: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)21:55 ID:A9zfkBNj(8/26) AAS
617 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/09(土) 12:48:46.81 ID:Vo9e95n/ [8/35]
>>616 つづき
<一見数学的帰納法は不完全に見える、位相（topology）の例はどう考えれば良いのか？>
１．思うに、この話は極限と収束を意識すれば、説明がつく。
２．それと、無限を集合の濃度としての無限と、集合の要素としての無限大 ：記号∞との区別も意識しておきたい（自然数Nには、集合の要素としての無限大 ：記号∞は含まれていないが、Nは可算無限の濃度を持つ無限集合である）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
9(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)21:55 ID:A9zfkBNj(9/26) AAS
618 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/09(土) 12:49:17.41 ID:Vo9e95n/ [9/35]
>>617 つづき
３．位相（topology）の例を追加しよう
外部ﾘﾝｸ:www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp
室田 一雄 (Kazuo Murota)
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp
T5 閉集合と開集合 基礎数理 (副題：数理工学への入門)室田一雄 東大 2012
より引用
命題３（無限個の場合）
（１）無限個の閉集合F1, F2, . . . の和集合∪∞n=1 Fn は閉集合とは限らない．
省7
10(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)21:55 ID:A9zfkBNj(10/26) AAS
619 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/09(土) 12:51:27.51 ID:Vo9e95n/ [10/35]
>>618 つづき
１．>>27の山田光太郎先生 ”例10.6. 自然数n に対してUn = (-1/n, 1/n) (開区間) とおくと，Un はR の開集合(演習問題10-1)．”も含めて、統一的な説明を与えよう
２．極限と収束の観点から、山田光太郎先生のUn = (-1/n, 1/n) (開区間) の例は、”単に、Un = (-1/n, 1/n) (開区間)という包含関係（Un ⊃Un+1 ）を持つ開集合族が、n→∞で Un = {0}に収束するという数学的事実を示したに他ならない">>27
３．同様に、上記室田一雄先生の例は、n→∞の極限で閉区間Fn = [1/n, 1] の和集合は(0, 1] に収束するという数学的事実を示したに他ならない
但し、1/n→0で、0は閉区間Fn = [1/n, 1] の和集合に含まれないから、半開区間になるのだ。それは、数学的帰納法の責任ではない
４．上記例２と例３も同じ。例２は”極限a = 0 は集合G に含まれない”から、閉集合にならないが、半開区間になるのだ。それは、数学的帰納法の責任ではない。例３も上記の説明通り。
５．上記の例を、数学的帰納法の役割という観点で見ると、いずれもn-1までの結果と、nの要素との共通部分を取るなり、集合の合併を作るなりをしている。
つまりは、極限と収束については、数学的帰納法の責任外なのだ
６．さらに砕けた言い方をすれば、この各例で、「n-1の結果と、n番目の要素とのある演算をして下さい」と数学的帰納法に指示しているのは依頼側
省4
11(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)21:56 ID:A9zfkBNj(11/26) AAS
624 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/09(土) 13:04:56.43 ID:Vo9e95n/ [14/35]
>>538 補足
>確率変数の独立性というのは，可算族に対しては(1)も(2)も同値となるので，
ここを自分なりに補足すると、下記可算選択公理が使えるってことだろう
>>533の「選択公理を捨ててソロヴェイの公理仮定しろよ」をさりげなく否定していると見た
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
可算選択公理
(抜粋)
ACωとも表記される。名前の通り、選択公理を可算集合族に限定したものになっている。
応用
省7
12(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)21:57 ID:A9zfkBNj(12/26) AAS
697 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/10(日) 09:46:13.73 ID:1POR/mwl [7/28]
>>615 補足
「数学的帰納法で導く結論は、必ず正しい」、「数学的帰納法は演繹法である」を補足しておく
高校数学ではこれで終わりだ。が、前スレで渕野先生を引用したように、大学では無限集合を扱うときに、公理の問題を意識しないといけない場合がある
（つまり、無限集合を扱うとき、そのための公理が必要だと）
１．ペアノ公理：” 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。5番目の公理は、数学的帰納法の原理である。”（つまり、数学的帰納法の原理が自然数N全体に適用できるを公理にしていると）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
２．ZFC：”無限公理 空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する”と選択公理 （選択公理と同値であることが ZF において証明できる命題として、整列定理を使って、数学的帰納法が適用できる）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
３．ZF に ACω（可算）を付け加えた公理系：実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い[1]。選択公理が成り立たないソロヴェイのモデル（英語版）においても、可算選択公理は成り立つ。
省6
13(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)21:59 ID:A9zfkBNj(13/26) AAS
709 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/10(日) 11:30:39.18 ID:1POR/mwl [12/28]
”『Lebesgueの意味の測度論を使う定式化を見直すという可能性』を言ってます。
あの当時とは違って、今はゲーム理論とかAI（NNみたいな学習理論とか）、
また流行りのファイナンスとか、そういうのが『Kolmogorovの公理系から
ははみ出してる』という印象でしょう。なので所謂『Baysianな議論』と
いうヤツがそうですわ。だから時枝さんの議論は（その細部はさて置き）
非常に求められている問題意識ではないかと。”>>201
そういう問題意識は分からなくもない。
ただ、それなら
１．あの当時とは違ってゲーム理論とかAI（NNみたいな学習理論とか）・・『Kolmogorovの公理系からははみ出してる』
省10
14(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)22:05 ID:A9zfkBNj(14/26) AAS
709 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/10(日) 11:30:39.18 ID:1POR/mwl [12/28]
”『Lebesgueの意味の測度論を使う定式化を見直すという可能性』を言ってます。
あの当時とは違って、今はゲーム理論とかAI（NNみたいな学習理論とか）、
また流行りのファイナンスとか、そういうのが『Kolmogorovの公理系から
ははみ出してる』という印象でしょう。なので所謂『Baysianな議論』と
いうヤツがそうですわ。だから時枝さんの議論は（その細部はさて置き）
非常に求められている問題意識ではないかと。”>>201
そういう問題意識は分からなくもない。
ただ、それなら
１．あの当時とは違ってゲーム理論とかAI（NNみたいな学習理論とか）・・『Kolmogorovの公理系からははみ出してる』
省10
15(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)22:06 ID:A9zfkBNj(15/26) AAS
766 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/10(日) 19:45:57.15 ID:1POR/mwl [27/28]
>>765 つづき
４．前スレ >>310 証明おじさん「＞帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張
これが理解できないスレ主のためにわざわざ問題出して上げたのに(>>144)ガン無視かよｗ」
５．前スレ >>382 証明おじさん「(n∈N ⇒ P(n)は真) ⇒ (n=∞ ⇒ P(n)は真) が真であれば、数学的帰納法は不完全であると言える。
実際には反例が存在するから不完全ではない。その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ。」
要は、”そもそも時枝氏の勘違い”>>542に乗せられたのか、”独立性の定義から「互いに情報を得られない箱は常に有限個の組」でしかなく”と言い出した
そして、”また帰納法で例えるけど帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張 とにかくその操作を繰り返してるうちはどの時点でも有限個しか考えられてないんだ”という
その流れの中での、”数学的帰納法は不完全””実際には反例が存在するから不完全ではない。その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ”と
そして、>>744引用の証明を書いた証明おじさんだったのだ
省4
16(3): 2016/07/15(金)22:16 ID:xfE1fnFv(1/2) AAS
スレ主ってすごく独りよがりですね
17(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)22:30 ID:A9zfkBNj(16/26) AAS
>>16
どうも。スレ主です。
お褒めを頂きありがとう
18(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)22:30 ID:A9zfkBNj(17/26) AAS
だって私はスレ主ですから
19: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)22:38 ID:A9zfkBNj(18/26) AAS
よく考えてみると、「任意の整列集合に対して次のように一般化することができる」「選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる」と（下記）
とすれば、自然数Nは可算無限の濃度（アレフゼロ）ではあるが、集合の元としては∞は含まれていないことに気付く
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
超限帰納法
上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。
この一般化を超限帰納法 (ちょうげんきのうほう、英: transfinite induction)という。任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。
20(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)22:40 ID:A9zfkBNj(19/26) AAS
>>15 引用が抜けた
765 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/10(日) 19:44:49.80 ID:1POR/mwl [26/28]
>>764 つづき
前スレの流れを整理しておくと、
１．前スレ >>235 Tさん「無限個の確率変数が独立であるとは「無限個のうち任意の有限個が独立」と定義される。
「無限個がまるまるすべて独立」という定義ではない。これは記事に書いてあるとおり。
そしてここにパラドックスの成立する余地がある。
すなわち独立性の定義から「互いに情報を得られない箱は常に有限個の組」でしかなく、
それに含まれない他の箱が常に存在する。
その箱の情報が別の箱から得られないことを独立性の定義からは結論できない、というわけ。」と
省7
21(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)22:41 ID:A9zfkBNj(20/26) AAS
重複するが貼り直し
766 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/10(日) 19:45:57.15 ID:1POR/mwl [27/28]
>>765 つづき
４．前スレ >>310 証明おじさん「＞帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張
これが理解できないスレ主のためにわざわざ問題出して上げたのに(>>144)ガン無視かよｗ」
５．前スレ >>382 証明おじさん「(n∈N ⇒ P(n)は真) ⇒ (n=∞ ⇒ P(n)は真) が真であれば、数学的帰納法は不完全であると言える。
実際には反例が存在するから不完全ではない。その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ。」
要は、”そもそも時枝氏の勘違い”>>542に乗せられたのか、”独立性の定義から「互いに情報を得られない箱は常に有限個の組」でしかなく”と言い出した
そして、”また帰納法で例えるけど帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張 とにかくその操作を繰り返してるうちはどの時点でも有限個しか考えられてないんだ”という
その流れの中での、”数学的帰納法は不完全””実際には反例が存在するから不完全ではない。その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ”と
省5
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