[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む21 [無断転載禁止]©2ch.net (808ﾚｽ)
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12(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)21:57 ID:A9zfkBNj(12/26) AAS
697 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/10(日) 09:46:13.73 ID:1POR/mwl [7/28]
>>615 補足
「数学的帰納法で導く結論は、必ず正しい」、「数学的帰納法は演繹法である」を補足しておく
高校数学ではこれで終わりだ。が、前スレで渕野先生を引用したように、大学では無限集合を扱うときに、公理の問題を意識しないといけない場合がある
（つまり、無限集合を扱うとき、そのための公理が必要だと）
１．ペアノ公理：” 0 がある性質を満たし、a がある性質を満たせばその後者 suc(a) もその性質を満たすとき、すべての自然数はその性質を満たす。5番目の公理は、数学的帰納法の原理である。”（つまり、数学的帰納法の原理が自然数N全体に適用できるを公理にしていると）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
２．ZFC：”無限公理 空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する”と選択公理 （選択公理と同値であることが ZF において証明できる命題として、整列定理を使って、数学的帰納法が適用できる）
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
３．ZF に ACω（可算）を付け加えた公理系：実数論においては選択公理ではなく可算選択公理で事足りる場合が多い[1]。選択公理が成り立たないソロヴェイのモデル（英語版）においても、可算選択公理は成り立つ。
省6
13(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)21:59 ID:A9zfkBNj(13/26) AAS
709 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/10(日) 11:30:39.18 ID:1POR/mwl [12/28]
”『Lebesgueの意味の測度論を使う定式化を見直すという可能性』を言ってます。
あの当時とは違って、今はゲーム理論とかAI（NNみたいな学習理論とか）、
また流行りのファイナンスとか、そういうのが『Kolmogorovの公理系から
ははみ出してる』という印象でしょう。なので所謂『Baysianな議論』と
いうヤツがそうですわ。だから時枝さんの議論は（その細部はさて置き）
非常に求められている問題意識ではないかと。”>>201
そういう問題意識は分からなくもない。
ただ、それなら
１．あの当時とは違ってゲーム理論とかAI（NNみたいな学習理論とか）・・『Kolmogorovの公理系からははみ出してる』
省10
14(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)22:05 ID:A9zfkBNj(14/26) AAS
709 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/10(日) 11:30:39.18 ID:1POR/mwl [12/28]
”『Lebesgueの意味の測度論を使う定式化を見直すという可能性』を言ってます。
あの当時とは違って、今はゲーム理論とかAI（NNみたいな学習理論とか）、
また流行りのファイナンスとか、そういうのが『Kolmogorovの公理系から
ははみ出してる』という印象でしょう。なので所謂『Baysianな議論』と
いうヤツがそうですわ。だから時枝さんの議論は（その細部はさて置き）
非常に求められている問題意識ではないかと。”>>201
そういう問題意識は分からなくもない。
ただ、それなら
１．あの当時とは違ってゲーム理論とかAI（NNみたいな学習理論とか）・・『Kolmogorovの公理系からははみ出してる』
省10
15(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)22:06 ID:A9zfkBNj(15/26) AAS
766 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/10(日) 19:45:57.15 ID:1POR/mwl [27/28]
>>765 つづき
４．前スレ >>310 証明おじさん「＞帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張
これが理解できないスレ主のためにわざわざ問題出して上げたのに(>>144)ガン無視かよｗ」
５．前スレ >>382 証明おじさん「(n∈N ⇒ P(n)は真) ⇒ (n=∞ ⇒ P(n)は真) が真であれば、数学的帰納法は不完全であると言える。
実際には反例が存在するから不完全ではない。その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ。」
要は、”そもそも時枝氏の勘違い”>>542に乗せられたのか、”独立性の定義から「互いに情報を得られない箱は常に有限個の組」でしかなく”と言い出した
そして、”また帰納法で例えるけど帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張 とにかくその操作を繰り返してるうちはどの時点でも有限個しか考えられてないんだ”という
その流れの中での、”数学的帰納法は不完全””実際には反例が存在するから不完全ではない。その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ”と
そして、>>744引用の証明を書いた証明おじさんだったのだ
省4
16(3): 2016/07/15(金)22:16 ID:xfE1fnFv(1/2) AAS
スレ主ってすごく独りよがりですね
17(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)22:30 ID:A9zfkBNj(16/26) AAS
>>16
どうも。スレ主です。
お褒めを頂きありがとう
18(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)22:30 ID:A9zfkBNj(17/26) AAS
だって私はスレ主ですから
19: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)22:38 ID:A9zfkBNj(18/26) AAS
よく考えてみると、「任意の整列集合に対して次のように一般化することができる」「選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる」と（下記）
とすれば、自然数Nは可算無限の濃度（アレフゼロ）ではあるが、集合の元としては∞は含まれていないことに気付く
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
超限帰納法
上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。
この一般化を超限帰納法 (ちょうげんきのうほう、英: transfinite induction)という。任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。
20(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)22:40 ID:A9zfkBNj(19/26) AAS
>>15 引用が抜けた
765 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/10(日) 19:44:49.80 ID:1POR/mwl [26/28]
>>764 つづき
前スレの流れを整理しておくと、
１．前スレ >>235 Tさん「無限個の確率変数が独立であるとは「無限個のうち任意の有限個が独立」と定義される。
「無限個がまるまるすべて独立」という定義ではない。これは記事に書いてあるとおり。
そしてここにパラドックスの成立する余地がある。
すなわち独立性の定義から「互いに情報を得られない箱は常に有限個の組」でしかなく、
それに含まれない他の箱が常に存在する。
その箱の情報が別の箱から得られないことを独立性の定義からは結論できない、というわけ。」と
省7
21(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)22:41 ID:A9zfkBNj(20/26) AAS
重複するが貼り直し
766 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/10(日) 19:45:57.15 ID:1POR/mwl [27/28]
>>765 つづき
４．前スレ >>310 証明おじさん「＞帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張
これが理解できないスレ主のためにわざわざ問題出して上げたのに(>>144)ガン無視かよｗ」
５．前スレ >>382 証明おじさん「(n∈N ⇒ P(n)は真) ⇒ (n=∞ ⇒ P(n)は真) が真であれば、数学的帰納法は不完全であると言える。
実際には反例が存在するから不完全ではない。その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ。」
要は、”そもそも時枝氏の勘違い”>>542に乗せられたのか、”独立性の定義から「互いに情報を得られない箱は常に有限個の組」でしかなく”と言い出した
そして、”また帰納法で例えるけど帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張 とにかくその操作を繰り返してるうちはどの時点でも有限個しか考えられてないんだ”という
その流れの中での、”数学的帰納法は不完全””実際には反例が存在するから不完全ではない。その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ”と
省5
22(1): 2016/07/15(金)22:47 ID:xfE1fnFv(2/2) AAS
独りよがりの性質を誇らしく思っているのは分かりましたが・・・
（前スレにスレ主の認識違いを示しているレスがあるんですけど・・）
お邪魔しました
23(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)23:08 ID:A9zfkBNj(21/26) AAS
>>20 つづき
それで、”すなわち独立性の定義から「互いに情報を得られない箱は常に有限個の組」でしかなく”とおかしな方向へ
”「＞６．これを繰り返すと、有限部分族に上限はなく、”常に有限個の組でしかなく”に反する
ここがおかしい
また帰納法で例えるけど帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張
とにかくその操作を繰り返してるうちはどの時点でも有限個しか考えられてないんだ」”
などと
しかし、自然数Nは可算無限の濃度（アレフゼロ）ではあるが、集合の元としては∞は含まれていないから、
自然数Nは、字義通り上限が無い（限りがない）ということ
それを、どうも集合の元としての∞と混同してしまったんだね
省8
24: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)23:10 ID:A9zfkBNj(22/26) AAS
>>22
どうも。スレ主です。
お褒めを頂きありがとう
前スレにスレ主の認識違いを示しているレスがある？
それはあるでしょうよ。否定はしません（＾＾；
25: 2016/07/15(金)23:12 ID:jYeztzeH(1/2) AAS
>>21
お前は”その反例”の”その”は何だと認識しているのか書けと言ったはずだが
お前が正しく理解してるのならこんなことは言わん。間違っているから言っている。
26: 2016/07/15(金)23:14 ID:jYeztzeH(2/2) AAS
>>23
＞いや、私もそれに乗せられた（＾＾；
自分のアホを他人のせいにすんな
お前以外の誰もそんなアホな勘違いしていない
27(6): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)23:24 ID:A9zfkBNj(23/26) AAS
>>23
集合の元としての∞については、前スレでも触れたが、別にロビンソンの超準（以下”ノンスタ”と略す）に限られず、古くは射影幾何とかリーマン球でも導入されていた
どうも、コンパクト化という手法のようです（下記）
射影幾何を遡れば、古くギリシャの円錐曲線論に辿り着く
とすれば、集合の元としての∞の導入自身は、は結構分かり易い。ノンスタでなければならないという訳でも無いし、結構直感的に把握できる
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
コンパクト化
位相空間X のコンパクト化（英: compactification）とはX をコンパクトな位相空間に稠密に埋め込む操作を指す。コンパクトな空間は数学的に取り扱いやすい為、X をそのような空間に埋め込む事でX の性質を調べやすくする事ができる。
省2
28(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)23:35 ID:A9zfkBNj(24/26) AAS
ノンスタの独自性は、むしろ無限小量の導入の法だろう（下記）
だから、前スレでだれか”メタ言語”だとか言っていたけど、集合の元としての∞の導入自身はそんな難しい話じゃない
”スレ主の考え方を正当化するには、数学的には、超準解析を用いないと正しい結論は出せない。”なんてのもおかしい。コンパクト化で足りる
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
超準解析
ニュートンやライプニッツ以来300年間厳密に定義されなかった無限小量は ε-δ 論法の登場によって一旦は追放された。
しかし1950年代に登場したモデル理論を初めて応用することで、1960年代にアブラハム・ロビンソンは超実数を考案して、古典的な無限小・無限大の概念を数学的に厳密な形で正当化し、無限小解析をそのままの形で蘇らせることに成功した。
29(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)23:50 ID:A9zfkBNj(25/26) AAS
>>23 補足
補完数直線ということばがある
”この位相に関して、実変数 x が +∞ や ?∞ へ近づく極限や、函数の値が +∞ や ?∞ へ近づく極限を、一般的な極限の位相的定義を簡略化して定義することができる。”
なんてあるので、Σn=1-∞ Anとか、定積分記号で0から∞という記述も、それなりの数学的合理性がある
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
順序構造および位相的性質
任意の（有限）実数 a に対して ?∞ ? a ? +∞ と置くことにより、実数直線 R における順序の拡張として、補完数直線 R は全順序集合になる。この順序に関して R は「任意の部分集合が上限と下限を持つ」（完備束を成す）という良い性質を持つ。
この順序から導かれる R 上の順序位相では、集合 U が正の無限大 +∞ の近傍となる必要十分条件は U が適当な実数 a に対する集合 {x : x > a} を含むことであり、負の無限大 ?∞ についても同様のことが言える。
補完数直線 R は、単位閉区間 [0, 1] に同相なコンパクトハウスドルフ空間であるから、単位閉区間の通常の距離から同相を通じて距離化可能であるが、しかし R 上の通常の距離の延長となるような距離を入れることはできない。
省1
30: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)23:52 ID:A9zfkBNj(26/26) AAS
>>28 訂正
ノンスタの独自性は、むしろ無限小量の導入の法だろう（下記）
↓
ノンスタの独自性は、むしろ無限小量の導入の方だろう（下記）
31(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/16(土)06:14 ID:6gtR58FD(1/47) AAS
>>29 つづき
”任意の（有限）実数 a に対して -∞ ≦ a ≦ +∞ と置くことにより、実数直線 R における順序の拡張として、補完数直線 R は全順序集合になる。”
とある
一方、>>18 "上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。"とある
だから、おそらくは、補完数直線 R についても、数学的帰納法は適用可能なのだ
が、一つ注意が必要だろう
いま、自分が考えている前提が、（通常の）実数なのか拡張実数なのか、適宜確認が必要だろう
下記では、”通常の実数は有限実数と呼んで区別する[1]”などとある
だが、有限実数の”有限”とは、集合の濃度のことではない。集合の濃度としては、連続無限だ
省5
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