現代数学の系譜11 ガロア理論を読む21 [無断転載禁止]©2ch.net

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668: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/08/11(木) 09:44:17.96 ID:AONA9sxo

>>667 補足

http://www.kitasato-u.ac.jp/sci/resea/buturi/hisenkei/sogo/mathphys.pdf
数学と物理学の間 北里大学　理学部　物理 十河清 （「1995 年度八王子数学ジュニア・セミナー夏の学校」における高校生向け講義レジュメ）
(抜粋)
1 はじめに－数学と物理学の関係
この章では数学と物理学の関係について簡単に議論する。一般にこれに対する答えは数学者と物理学者とで異なるであろう。
物理学の徒である筆者がこれだと考える回答は、次のディラックの意見である。英語のまま引用するので、読んでみて欲しい。
The steady progress of physics requires for its theoretical formulation a mathematics that gets continually more advanced.
This is only natural and to be expected.
What, however, was not expected by the scientific workers of the last century was the particular form that the line of advancement of the mathematics would take, namely, it was expected that the mathematics would get more and more complicated,
but rest on a permanent basis of axioms and definitions, while actually the modern physical developments have required a mathematics that continually shifts its foundations and gets more abstract.
Non-euclidean geometry and non-commutative algebra, which were at one time considered to be purely fictions of mind and pastimes for logical thinkers, have now been found to be very necessary for the description of general facts of the physical world.
It seems likely that this process of increasing abstraction will continue in the future and that advance in physics is to be associated with a continual modification and generalisation of the axioms at the base of the mathematics rather than with a logical development of any one mathematical scheme on a fixed foundation.
(P.A.M.Dirac: Quantised Singularities in the Electromagnetic Field, Proc.Roy.Soc.A133(1931)60)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/668

670: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/08/11(木) 09:49:32.93 ID:AONA9sxo

>>669 つづき

4 まとめ－いま数理物理学になにが起きているのか

この章では、前章で述べた「ソリトンの数理」をその一部として含む数理物理学の世界でいまなにが起きて
いるのかを簡単に紹介して、本講義のまとめに代えたいと思う。専門用語が説明無しに出て来るけれども、お
話と思って聞いてもらいたい。若い世代に多いといわれる「やることはもう残っていないのではないか」とい
う考えが誤解であって、たくさんのおもしろい問題が解決を待っていることを感得して頂ければ、充分である。

前章で紹介した「ソリトン物理学」における非線形発展方程式（サイン・ゴルドン方程式）の厳密解は、数
理物理学における最近の成果のひとつである。ソリトン方程式が厳密に解くことができるのには、理由があ
る。この1960 年代後半に始まった「ソリトン方程式の数理の解明」をきっかけとして、いま数理物理学の世
界では、物理学と数学のいろいろな分野にわたってお互いに密接に関係しあいながら、ひとつの大きな「数
学」が形成されつつある。

この「数学」は、ソリトン理論、量子可積分系の理論、素粒子の弦理論、無限次元リー代数、代数幾何学、
無限次元の確率論などを巻き込んで、いま大きな渦のようなうねりを見せている。まだまだこの先になにが飛
び出してくるのか予想もつかない。そして、この新しい数学が全体としてどういう姿になるのかは、未だ研究
者の頭の中に漠然と想像されているにすぎないのである。

そんなわけで、この「未完の数学」のもっとも良い「応用」は、素粒子物理学の最終理論（Theory of
Everything）と目されている「超弦理論」がそのひとつであると考えられている。その他、固体物理学の分野
でも「量子ホール効果」や「高温超伝導」の理論において、その成果が得られつつある。物理学の解明が数学
の進展と手をたずさえて進んでいるのである。こうして、あたかも「ニュートン力学」の完成が同時に「微分
積分学」の成立でもあったように、物理学上の問題が新しい数学をいま生みつつあるとおもわれるのである。

(引用おわり)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/670

677: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/08/11(木) 10:35:10.06 ID:AONA9sxo

>>673 「無限次元の確率論」補足

会田茂樹先生は、以前にも紹介したと思うが
http://www.math.tohoku.ac.jp/~aida/paper/aida2.html
確率論と無限次元解析 会田茂樹

ある状態空間(典型的なのは実数の集合)の中を 時間とともにランダムに変動する量は、数学的には 確率過程ととらえられ、解析されます。
ここでは、 時間とともに連続的に変動する量を考えましょう。
そのとき、確率過程を考えることと 非負の実数全体から状態空間への連続写像全体の 空間上に確率測度を与えることは同値になります。
その代表的なものが、ブラウン運動であり、 Wiener測度です。 他の連続な確率過程もブラウン運動をインプットとする 確率微分方程式を解いて、得られることが多いと言えます。
実際、解析学の多くの問題が2階楕円型微分作用素に 関係していますが、その生成する拡散半群の 確率論的表示に確率微分方程式の 解が用いられます。
このようにして、応用に現れる多くの ランダムな量が確率微分方程式の解やその 関数で表される ことがわかり、ブラウン運動の汎関数の 解析を行うことの重要性が見てとれます。
私の研究課題の一つは、 このような無限次元解析の視点に立って、 有限次元空間の幾何、解析、応用に現れる 問題を研究することにあります。

この方面での具体的な研究テーマの一つは、 拡散半群の熱核の上と下からの精細な評価、 対数微分の評価です。
この分野は近年、楕円型作用素のみならず準楕円型作用素 に対する解析も盛んに研究されており、興味深い新たな 進展が期待される分野です。
また、ブラウン運動の汎関数の平均値の計算は、 無限次元空間上の積分ですが、その効率的な 数値計算の研究も数理ファイナンスへの 応用も考慮して、アタックしたい問題の 一つです。

ところで、これらの汎関数は通常、連続関数の位相に対して 連続ではありません。
しかし、Terry Lyons教授により 確率微分方程式の解は、インプットのブラウン運動 そのものとその軌道の 描く面積のふたつの量の汎関数としては 連続な写像とみれるという結果が 得られており(ラフパス解析と呼ばれています)、 その応用にも関心を持っています。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/677

678: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/08/11(木) 10:38:44.39 ID:AONA9sxo

>>677 つづき

これまで、述べてきたのは、有限次元空間上の 問題(例えば有限次元空間上の拡散半群の問題) を無限次元解析を通して研究しようという ことですが、無限次元空間上で自然に現れる 問題にも関心を持っており、現在の私の研究の中心は こちらにあると言えます。
例えば、場の量子論 は無限個の調和振動子が相互作用して いる系の量子化にかかわるものと言えますが、 そのハミルトニアンは必然的に無限次元空間上の 微分作用素(もっと正確には シュワルツ超関数の空間にガウス測度が 与えられた確率空間上のシュレーディンガー型作用素)となります。
また、物理的な意味は薄れますが、 リーマン多様体上の始点と終点が一致しているループの空間 の上で関数に作用するOrnstein-Uhlenbeck作用素や 微分形式に作用するHodge-Kodaira型の 作用素を考えるのは幾何学的に興味深いことです。
略

1982年にEdward Witten教授がモース不等式 をそのモース関数で変形して得られる 超対称ハミルトニアン(Witten Laplacian) のスペクトルの準古典的挙動から導いたのは、 準古典極限の顕著な応用と言えるでしょう。
今考えているのは、その無限次元版 なわけで、ループ空間などの幾何学的な 対象のときは、道のエネルギーがモース関数に 相当します。
この場合でもモース不等式が準古典的 アプローチで証明できるのでしょうか? 最近、コンパクトリー群上のpinned path spaceで少し結果が 出始めましたが、遠方での評価が得られず、まだ解決には至っていません。

また、 最近、場の量子論の典型的モデルである有限体積での$P(\phi)_2$型ハミルトニアン (現在の所、4次の多項式で、体積の大きさに制限が着いたものに限る) の最小固有値の準古典極限を決定することができました。
さらに第一固有値と第二固有値のギャップの漸近挙動 がAgmon距離により決定されるのか、超対称ハミルトニアンの場合の研究など に引き続き取り組んでいます。

数学の研究では、あきらめないでねばり強く考えることと、一つの 視点にとらわれない自由な物の見方が要求されます。 意欲ある学生諸君を待っています。

(引用おわり)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/678

685: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/08/11(木) 11:23:55.10 ID:AONA9sxo

>>680
どうも。スレ主です。
なんだ、おっちゃんか！
お元気そうでなにより

>スレ主の考え方が間違っているに気付いた。時枝の考え方は正しい。

安心したよ（＾＾；
出会いのときからだよね、その言葉（＾＾；

で、最後にどんでん返し
最初問題を出してくれたんだ
で、その問題を解いた
実数Rの乗法群で、アーベルだから部分群はすべて正規部分群と流したら、おっちゃん延々証明を書いた

こういう経緯だったね

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む11
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/498
498 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/02/01(日) 15:26:49.86 ID:f3suQEjt

次の問題はどう？　スレ主でも解けるでしょう。
複素平面Cの乗法群C^{×}＝C-{0}の正規部分群は非可算無限個存在することを示せ。

519 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/02/02(月) 14:07:58.40 ID:Fvsu4fkg [1/5]

>２．通常の乗法は可換だから、アーベルで、部分群もアーベル。従って、部分群は全て正規部分群となる
この部分で既に証明として間違いになっているよ。直観的には自明で正解だが、一応スレ主も分かるように証明しよう。

566 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2015/02/03(火) 20:31:59.04 ID:KYB7IjhQ [3/4]
>>565
別にスレ主を擁護してるわけじゃねーよ。
でも>>558は幾らなんでもアホだろ。
そもそもの問題からしてくだらないのに、自明な部分は長文の証明で埋め尽くし、
肝心な部分(異なるH(*)が非可算無限個とれるところ)はいつまで経っても証明できてない上に、
スレ主の方が既に証明できちゃってるという本末転倒ぶり。出題者のくせに何やってんだよ。
恥さらしもいいとこだろ。
（引用おわり）

498の出題と519のコメントがおっちゃん。「２．通常の乗法は可換だから、アーベルで、部分群もアーベル。従って、部分群は全て正規部分群となる」が私
566がメンターさん

この部分は、自明で証明不要がメンターさんと私のセンス
が、おっちゃんは、”自明な部分は長文の証明で埋め尽くし”とやったんだったね
（分かるだろ？　当時どっちが正規部分群をより深く理解していたかが）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/685

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