[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む21 [無断転載禁止]©2ch.net (808ﾚｽ)
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16(3): 2016/07/15(金)22:16 ID:xfE1fnFv(1/2) AAS
スレ主ってすごく独りよがりですね
17(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)22:30 ID:A9zfkBNj(16/26) AAS
>>16
どうも。スレ主です。
お褒めを頂きありがとう
18(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)22:30 ID:A9zfkBNj(17/26) AAS
だって私はスレ主ですから
19: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)22:38 ID:A9zfkBNj(18/26) AAS
よく考えてみると、「任意の整列集合に対して次のように一般化することができる」「選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる」と（下記）
とすれば、自然数Nは可算無限の濃度（アレフゼロ）ではあるが、集合の元としては∞は含まれていないことに気付く
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
超限帰納法
上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。
この一般化を超限帰納法 (ちょうげんきのうほう、英: transfinite induction)という。任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。
20(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)22:40 ID:A9zfkBNj(19/26) AAS
>>15 引用が抜けた
765 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/10(日) 19:44:49.80 ID:1POR/mwl [26/28]
>>764 つづき
前スレの流れを整理しておくと、
１．前スレ >>235 Tさん「無限個の確率変数が独立であるとは「無限個のうち任意の有限個が独立」と定義される。
「無限個がまるまるすべて独立」という定義ではない。これは記事に書いてあるとおり。
そしてここにパラドックスの成立する余地がある。
すなわち独立性の定義から「互いに情報を得られない箱は常に有限個の組」でしかなく、
それに含まれない他の箱が常に存在する。
その箱の情報が別の箱から得られないことを独立性の定義からは結論できない、というわけ。」と
省7
21(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)22:41 ID:A9zfkBNj(20/26) AAS
重複するが貼り直し
766 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/10(日) 19:45:57.15 ID:1POR/mwl [27/28]
>>765 つづき
４．前スレ >>310 証明おじさん「＞帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張
これが理解できないスレ主のためにわざわざ問題出して上げたのに(>>144)ガン無視かよｗ」
５．前スレ >>382 証明おじさん「(n∈N ⇒ P(n)は真) ⇒ (n=∞ ⇒ P(n)は真) が真であれば、数学的帰納法は不完全であると言える。
実際には反例が存在するから不完全ではない。その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ。」
要は、”そもそも時枝氏の勘違い”>>542に乗せられたのか、”独立性の定義から「互いに情報を得られない箱は常に有限個の組」でしかなく”と言い出した
そして、”また帰納法で例えるけど帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張 とにかくその操作を繰り返してるうちはどの時点でも有限個しか考えられてないんだ”という
その流れの中での、”数学的帰納法は不完全””実際には反例が存在するから不完全ではない。その反例を示すことを実体験しなさいと言ってるんだよ”と
省5
22(1): 2016/07/15(金)22:47 ID:xfE1fnFv(2/2) AAS
独りよがりの性質を誇らしく思っているのは分かりましたが・・・
（前スレにスレ主の認識違いを示しているレスがあるんですけど・・）
お邪魔しました
23(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)23:08 ID:A9zfkBNj(21/26) AAS
>>20 つづき
それで、”すなわち独立性の定義から「互いに情報を得られない箱は常に有限個の組」でしかなく”とおかしな方向へ
”「＞６．これを繰り返すと、有限部分族に上限はなく、”常に有限個の組でしかなく”に反する
ここがおかしい
また帰納法で例えるけど帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて任意の自然数で成り立つと言う主張
とにかくその操作を繰り返してるうちはどの時点でも有限個しか考えられてないんだ」”
などと
しかし、自然数Nは可算無限の濃度（アレフゼロ）ではあるが、集合の元としては∞は含まれていないから、
自然数Nは、字義通り上限が無い（限りがない）ということ
それを、どうも集合の元としての∞と混同してしまったんだね
省8
24: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)23:10 ID:A9zfkBNj(22/26) AAS
>>22
どうも。スレ主です。
お褒めを頂きありがとう
前スレにスレ主の認識違いを示しているレスがある？
それはあるでしょうよ。否定はしません（＾＾；
25: 2016/07/15(金)23:12 ID:jYeztzeH(1/2) AAS
>>21
お前は”その反例”の”その”は何だと認識しているのか書けと言ったはずだが
お前が正しく理解してるのならこんなことは言わん。間違っているから言っている。
26: 2016/07/15(金)23:14 ID:jYeztzeH(2/2) AAS
>>23
＞いや、私もそれに乗せられた（＾＾；
自分のアホを他人のせいにすんな
お前以外の誰もそんなアホな勘違いしていない
27(6): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)23:24 ID:A9zfkBNj(23/26) AAS
>>23
集合の元としての∞については、前スレでも触れたが、別にロビンソンの超準（以下”ノンスタ”と略す）に限られず、古くは射影幾何とかリーマン球でも導入されていた
どうも、コンパクト化という手法のようです（下記）
射影幾何を遡れば、古くギリシャの円錐曲線論に辿り着く
とすれば、集合の元としての∞の導入自身は、は結構分かり易い。ノンスタでなければならないという訳でも無いし、結構直感的に把握できる
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
コンパクト化
位相空間X のコンパクト化（英: compactification）とはX をコンパクトな位相空間に稠密に埋め込む操作を指す。コンパクトな空間は数学的に取り扱いやすい為、X をそのような空間に埋め込む事でX の性質を調べやすくする事ができる。
省2
28(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)23:35 ID:A9zfkBNj(24/26) AAS
ノンスタの独自性は、むしろ無限小量の導入の法だろう（下記）
だから、前スレでだれか”メタ言語”だとか言っていたけど、集合の元としての∞の導入自身はそんな難しい話じゃない
”スレ主の考え方を正当化するには、数学的には、超準解析を用いないと正しい結論は出せない。”なんてのもおかしい。コンパクト化で足りる
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
超準解析
ニュートンやライプニッツ以来300年間厳密に定義されなかった無限小量は ε-δ 論法の登場によって一旦は追放された。
しかし1950年代に登場したモデル理論を初めて応用することで、1960年代にアブラハム・ロビンソンは超実数を考案して、古典的な無限小・無限大の概念を数学的に厳密な形で正当化し、無限小解析をそのままの形で蘇らせることに成功した。
29(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)23:50 ID:A9zfkBNj(25/26) AAS
>>23 補足
補完数直線ということばがある
”この位相に関して、実変数 x が +∞ や ?∞ へ近づく極限や、函数の値が +∞ や ?∞ へ近づく極限を、一般的な極限の位相的定義を簡略化して定義することができる。”
なんてあるので、Σn=1-∞ Anとか、定積分記号で0から∞という記述も、それなりの数学的合理性がある
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
順序構造および位相的性質
任意の（有限）実数 a に対して ?∞ ? a ? +∞ と置くことにより、実数直線 R における順序の拡張として、補完数直線 R は全順序集合になる。この順序に関して R は「任意の部分集合が上限と下限を持つ」（完備束を成す）という良い性質を持つ。
この順序から導かれる R 上の順序位相では、集合 U が正の無限大 +∞ の近傍となる必要十分条件は U が適当な実数 a に対する集合 {x : x > a} を含むことであり、負の無限大 ?∞ についても同様のことが言える。
補完数直線 R は、単位閉区間 [0, 1] に同相なコンパクトハウスドルフ空間であるから、単位閉区間の通常の距離から同相を通じて距離化可能であるが、しかし R 上の通常の距離の延長となるような距離を入れることはできない。
省1
30: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/15(金)23:52 ID:A9zfkBNj(26/26) AAS
>>28 訂正
ノンスタの独自性は、むしろ無限小量の導入の法だろう（下記）
↓
ノンスタの独自性は、むしろ無限小量の導入の方だろう（下記）
31(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/16(土)06:14 ID:6gtR58FD(1/47) AAS
>>29 つづき
”任意の（有限）実数 a に対して -∞ ≦ a ≦ +∞ と置くことにより、実数直線 R における順序の拡張として、補完数直線 R は全順序集合になる。”
とある
一方、>>18 "上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。"とある
だから、おそらくは、補完数直線 R についても、数学的帰納法は適用可能なのだ
が、一つ注意が必要だろう
いま、自分が考えている前提が、（通常の）実数なのか拡張実数なのか、適宜確認が必要だろう
下記では、”通常の実数は有限実数と呼んで区別する[1]”などとある
だが、有限実数の”有限”とは、集合の濃度のことではない。集合の濃度としては、連続無限だ
省5
32(8): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/16(土)06:16 ID:6gtR58FD(2/47) AAS
<時枝問題の記事を前スレから再録>
2 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/06/19(日) 04:50:40.78 ID:suG/dCz5 [2/23]
（時枝問題をまだ引っ張ってます）
前々スレ>>2 再録 （現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）
１．時枝問題（数学セミナー2015.11月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
省2
33(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/16(土)06:17 ID:6gtR58FD(3/47) AAS
3 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/06/19(日) 04:51:43.66 ID:suG/dCz5 [3/23]
（まあ、時枝記事が書いていることが分からないと、スレの住人も困るだろうから）
２．続けて時枝はいう
私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.
〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.
幾何的には商射影 R^N→ R^N/〜の切断を選んだことになる.
省8
34(8): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/16(土)06:18 ID:6gtR58FD(4/47) AAS
4 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/06/19(日) 04:53:04.24 ID:suG/dCz5 [4/23]
（趣旨は同じ）
３．つづき
問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.
箱の中身は私たちに知らされていないが， とにかく第l列の箱たち，第2列の箱たち第100 列の箱たちは100本の実数列S^1,S^2，・・・，S^lOOを成す(肩に乗せたのは指数ではなく添字).
これらの列はおのおの決定番号をもつ.
さて， 1〜100 のいずれかをランダムに選ぶ.
例えばkが選ばれたとせよ.
s^kの決定番号が他の列の決定番号どれよりも大きい確率は1/100に過ぎない.
第1列〜第(k-1) 列，第(k+1)列〜第100列の箱を全部開ける.
省11
35(7): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/16(土)06:19 ID:6gtR58FD(5/47) AAS
5 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/06/19(日) 04:58:41.83 ID:suG/dCz5 [5/23]
前々スレ>>614 再録 （現代数学の系譜11 ガロア理論を読む18）
数学セミナー201511月号P37 時枝記事に、次の一文がある
「R^N/〜 の代表系を選んだ箇所で選択公理を使っている.
その結果R^N →R^N/〜 の切断は非可測になる.
ここは有名なヴィタリのルベーグ非可測集合の例(Q/Zを「差が有理数」で類別した代表系， 1905年)にそっくりである.」
さらに、前スレでは引用しなかったが、続いて下記も引用する
「逆に非可測な集合をこさえるには選択公理が要る(ソロヴェイ， 1970年)から，この戦略はふしぎどころか標準的とさえいえるかもしれない.
しかし，選択公理や非可測集合を経由したからお手つき， と片付けるのは，面白くないように思う.
現代数学の形式内では確率は測度論によって解釈されるゆえ，測度論は確率の基礎， と数学者は信じがちだ.
省2
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