[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む21 [無断転載禁止]©2ch.net (808ﾚｽ)

現代数学の系譜11 ガロア理論を読む21 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/

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10: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/07/15(金) 21:55:47.76 ID:A9zfkBNj 619 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[] 投稿日：2016/07/09(土) 12:51:27.51 ID:Vo9e95n/ [10/35] >>618 つづき １．>>27の山田光太郎先生 ”例10.6. 自然数n に対してUn = (-1/n, 1/n) (開区間) とおくと，Un はR の開集合(演習問題10-1)．”も含めて、統一的な説明を与えよう ２．極限と収束の観点から、山田光太郎先生のUn = (-1/n, 1/n) (開区間) の例は、”単に、Un = (-1/n, 1/n) (開区間)という包含関係（Un ⊃Un+1 ）を持つ開集合族が、n→∞で Un = {0}に収束するという数学的事実を示したに他ならない">>27 ３．同様に、上記室田一雄先生の例は、n→∞の極限で閉区間Fn = [1/n, 1] の和集合は(0, 1] に収束するという数学的事実を示したに他ならない 　　但し、1/n→0で、0は閉区間Fn = [1/n, 1] の和集合に含まれないから、半開区間になるのだ。それは、数学的帰納法の責任ではない ４．上記例２と例３も同じ。例２は”極限a = 0 は集合G に含まれない”から、閉集合にならないが、半開区間になるのだ。それは、数学的帰納法の責任ではない。例３も上記の説明通り。 ５．上記の例を、数学的帰納法の役割という観点で見ると、いずれもn-1までの結果と、nの要素との共通部分を取るなり、集合の合併を作るなりをしている。 　　つまりは、極限と収束については、数学的帰納法の責任外なのだ ６．さらに砕けた言い方をすれば、この各例で、「n-1の結果と、n番目の要素とのある演算をして下さい」と数学的帰納法に指示しているのは依頼側 　　そして、数学的帰納法は、依頼された仕事を忠実に行うところまでの責任はあるが、その結果、極限と収束がどうなるかは、依頼側の指示次第 ７．だから、極限と収束の結果が、閉集合になったり開集合になったりしても、それをもって、「数学的帰納法は不完全であると言える」という主張は不成立 ８．この観点で、>>27-29を見直すと、>>27はそのままで良いだろう。>>28は、最後の１０項を取り消します（削除）。>>29も修正するのが面倒なので全体を取り消します（削除）。 ８．あとは、疑問があるなら、位相を講義する先生方に質問してください。「先生これ数学的帰納法の反例ですね」と。（もし、Yesと回答する先生が居たら、報告お願いします。） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/10

189: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/07/24(日) 13:55:37.12 ID:FvwRWNCJ >>188 つづき 一方私スレ主は、 １．数学的帰納法の理解が浅かった。Tさん、証明おじさん、およびそれにチョウチンを付ける人たちにきちんと反論できず、脳波を狂わされ、迷走しました ２．開集合、閉集合も同様。 ＜補足＞ １．数学的帰納法は、自然数の範囲ではn=∞は含まず、自然数の集合の濃度は可算無限。よって、n=∞を除いても、自然数の可算無限集合を数学的帰納法で取り扱える。なので”帰納法で例えるけど帰納法はn=∞でも成り立つと言ってるのではなくて”は、Tさんのミスリード ２．開集合、閉集合で、一見数学的帰納法は不完全であると見えるのは、極限と収束の問題と考えることができる。（>>9-10ご参照） 追記 　n=∞という元を集合に導入することは、射影やリーマン球や超実数などの手法で可能だ。 　しかし、n=∞を導入すると代数では体でなくなるし、1/nで実数n>0で1/n≠0だが、n=∞では1/n=0など、それまでと異なる状況になることに注意が必要だ。 　また、位相論では、リーマン球でn=∞を含まなければ複素平面と同相だが、n=∞を含めればリーマン球はコンパクトになるなどもある。 　それらは、数学的帰納法の外の問題であり、”数学的帰納法は不完全である”と捉えてはならない。 ここらは上記一応>>6-12にもまとめてあるので、そちらを見て貰えればと思います。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/189

253: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [] 2016/07/30(土) 06:51:10.03 ID:CYC/Gm2e >>252 つづき 証明おじさんの実力は、>>68で見切った いま>>68を改めて読むと、「実際に反例を示す」から「お前は P(∞) が真だと言ったが、反例が存在する。よってお前の発言は大間違い」の間で、反例を示したつもりなのか？ いやはや おれの反例の理解は、>>9の室田 一雄先生の例とか、>>10の山田光太郎先生の例がそうだと思ったんだがね（＾＾； そもそも、証明を始めるにあたって、証明しようとする命題を明記していないだろ？　初歩的ミス以前の問題だよ まっとうな、数学の証明の修練経験ゼロを示している 二つ目に、積集合∩の記号を書くべきところを、間違えて和集合∪と書いている だから、余計分け分からん とにかく、徹頭徹尾証明の体を成していないのだった（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/253

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