現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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141: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:49 ID:DzICE8Th(32/47) AAS
つづき
　話をsimplicial setに戻そう．位相空間の圏と異なり，simplicial setの圏は非常に良い圏論的な性質を持つ．それは，この圏が関手圏\displaystyle \mathsf{Set}^{\Delta^{op}}に他ならないため，\displaystyle \mathsf{Set}から多くの良い性質を引き継げる事に多くを起因する．
例えば，\displaystyle \mathsf{Set}_{\Delta}は完備かつ余完備で，カルテシアン閉でもある．また，関手圏なので極限や余極限はsectionwiseに\displaystyle \mathsf{Set}内で求めればよい．更に，これは棚から牡丹餅とも言えるが，前層の圏なので特に(Grothendieck) toposになっている．
そこで，topos理論などの少々高等な圏論を用いる事も出来る．必ずしもこれら全ての性質を使うとは限らないが，なんといっても使える手が多いのだ．

●抽象化の力
　しかし，この説明にはかなり不満も多いだろう．というのも，位相空間にはイメージのしやすさという明確な優位性がある．少々simplicial setの圏の性質が良かったところで，少なくとも位相空間に関する事は位相空間内で考えるほうが「分かりやすい」だろう．
これは圏に関してもそうだ．ある程度，圏論のイメージを掴んでいる人なら，Nerveを取らなくとも通常の圏のまま扱う方が分かりやすいに決まっている．
　
　その感覚は正しいだろう．では，わざわざなぜsimplicial setで考えるのか？それを説明するために，一つの例としてgroupoidを値に持つ(co)fibered categoryを挙げてみようと思う．古典的には，これには同値な二つの定義がある．（例えばSGA1を参照されたい．）
　Definition1.(cofibered category)
省3

142: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:50 ID:DzICE8Th(33/47) AAS
つづき
　Definition2.(cofibered category)
　\displaystyle D上のcofibered categoryとは関手\displaystyle F:C\to Dで
　(1) すべての\displaystyle c\in ob(C)とすべての射\displaystyle \eta:F(c)\to dに対して，ある射\displaystyle \tilde{\eta}:c\to \tilde{d}が存在して\displaystyle F(\tilde{\eta})=\etaが成立する，
　(2) すべての射\displaystyle (\eta:c\to c')\in Mor(C)と対象\displaystyle c''\in ob(C)に対して
\displaystyle Hom_{C}(c',c'')\to Hom_{C}(c,c'')\times_{Hom_{D}(F(c),F(c''))}Hom_{D}(F(c'),F(c''))は全単射，を満たすものをいう．

　これらの同値性はGrothendieck構成によって得られる．
　Theorem.(Grothendieck construction)
　圏同値\displaystyle \int :\mathsf{Fun}(D,\mathsf{Grpd})\cong \mathsf{Cofib}^{\mathsf{Gprd}}(D)が存在する．

　圏同値なのならどちらも同じかと思うかもしれないが，そういう訳ではない．前者は一見シンプルで分かりやすいが，2-圏的な対象であるという難しさがある．それに比べ後者は少々複雑な条件が伴うが，2-圏的な要素を排除する事に成功している．このような「分かりやすさと扱いやすさのトレードオフ」は数学の様々な場面で付きまとう問題である．
省2

143(2): 2016/11/05(土)19:50 ID:rB//53Un(2/3) AAS
>>135
> Ａが、キマイラ数列でなく、通常の数列だとどうやって見分けるのか
R^Nの元である通常の無限数列をN, N1, N2で表してキマイラ数列をN1(+)N2と表すとする

R^Nの元を用いて決定番号を求める
(1)決定番号が有限の値の場合
Aは通常の数列Nである

(2)決定番号が無限大になった場合
決定番号より小さい添字を持つ数列はN1であるから数列A=N1(+)N2から通常の数列N1を得ることができる
N1を用いて決定番号を求めれば有限の値が得られる

144: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:53 ID:DzICE8Th(34/47) AAS
外部ﾘﾝｸ:infinitytopos.wordpress.com
∞カテゴリーIV 投稿日: 2015年2月15日投稿者: infinity_topos
(抜粋)
　前回の投稿で予告したように，simplicial setの持つ様々な帰着原理について紹介しよう．

●米田、余完備、Kan拡張
　さて，まず比較的一般性の高い事実から始めよう．simplicial setの圏\displaystyle \mathsf{Set}_\Deltaは前層の圏である．そこで，前層に一般的に成立する次の基本的な定理を復習しよう．
　Theorem.
　任意の前層\displaystyle P\in \mathsf{Set}^{C^{op}}は表現可能関手の余極限\displaystyle \varinjlim_{y\downarrow P} Hom(-,c_i)と同型である．

　
証明はMacLaneなどを参照されたい．index categoryの定義を述べていないが，とりあえず「任意の前層は表現可能関手の余極限で表される」と標語的に覚えておこう．以下では単に\displaystyle P\cong \varinjlim Hom(-,c_i)と表す．
省9

145: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:56 ID:DzICE8Th(35/47) AAS
東京工業大学藤田知未ちゃん、卒業したんやろね
外部ﾘﾝｸ:pantodon.shinshu-u.ac.jp
代数的トポロジー信州春の学校第3回 (2014年度)
開催日: 2015年3月3日 (火)〜6日 (金) (4日間)
場所: 信州大学理学部 (講義:第一講義室)
内容: ∞圏の基礎とそのいくつかの応用に関する講義とその準備のための勉強会の2本立て。

Higher category の構造とホモトピーの関係を理解し, ∞圏の定義にホモトピー論の言葉を用いることに納得すること。
3月4日以降の講義で用いられる単体的集合とモデル圏の言葉に慣れること。

これらの内容を7人の人で分担して話してもらいました。

3月3日
省10

146: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:56 ID:DzICE8Th(36/47) AAS
外部ﾘﾝｸ[pdf]:surgery.matrix.jp
Lurie's quasi category theory 変換群論シンポジュウム報告集. 南範彦. (名古屋工業大学) 2008

147: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:57 ID:DzICE8Th(37/47) AAS
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Quasi-category

It has been suggested that (∞,1)-category be merged into this article. (Discuss) Proposed since January 2016.
In mathematics, a quasi-category (also called quasicategory, weak Kan complex, inner Kan complex, infinity category, ∞-category, Boardman complex, quategory) is a generalization of the notion of a category. The study of such generalizations is known as higher category theory.

Quasi-categories were introduced by Boardman & Vogt (1973). Andre Joyal has much advanced the study of quasi-categories showing that most of the usual basic category theory and some of the advanced notions and theorems have their analogues for quasi-categories.
An elaborate treatise of the theory of quasi-categories has been expounded by Jacob Lurie (2009).

Quasi-categories are certain simplicial sets. Like ordinary categories, they contain objects (the 0-simplices of the simplicial set) and morphisms between these objects (1-simplices). But unlike categories, the composition of two morphisms need not be uniquely defined.
All the morphisms that can serve as composition of two given morphisms are related to each other by higher order invertible morphisms (2-simplices thought of as "homotopies"). These higher order morphisms can also be composed, but again the composition is well-defined only up to even higher order invertible morphisms, etc.

The idea of higher category theory (at least, higher category theory when higher morphisms are invertible) is that, as opposed to the standard notion of a category, there should be a mapping space (rather than a mapping set) between two objects.
This suggests that a higher category should simply be a topologically enriched category. The model of quasi-categories is, however, better suited to applications than that of topologically enriched categories, though it has been proved by Lurie that the two have natural model structures that are Quillen equivalent.

148: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)19:59 ID:DzICE8Th(38/47) AAS
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Simplicial set
From Wikipedia, the free encyclopedia

In mathematics, a simplicial set is a construction in categorical homotopy theory that is a pure algebraic model of the notion of a "well-behaved" topological space.
Historically, this model arose from earlier work in combinatorial topology and in particular from the notion of simplicial complexes. Simplicial sets are used to define quasi-categories, a basic notion of higher category theory.

History and uses of simplicial sets

Simplicial sets were originally used to give precise and convenient descriptions of classifying spaces of groups. This idea was vastly extended by Grothendieck's idea of considering classifying spaces of categories, and in particular by Quillen's work of algebraic K-theory.
In this work, which earned him a Fields Medal, Quillen developed surprisingly efficient methods for manipulating infinite simplicial sets.
Later these methods were used in other areas on the border between algebraic geometry and topology. For instance, the Andre-Quillen homology of a ring is a "non-abelian homology", defined and studied in this way.

Both the algebraic K-theory and the Andre-Quillen homology are defined using algebraic data to write down a simplicial set, and then taking the homotopy groups of this simplicial set. Sometimes one simply defines the algebraic K {\displaystyle K} K-theory as the space.
省2

149(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)20:58 ID:DzICE8Th(39/47) AAS
>>143

R^NのＮの定義と決定番号の集合をどう考えるか？
その定義と、無限定な時枝記事の「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.」>>114
「問題に戻り，閉じた箱を100列に並べる.」>>115
との整合性が求められる

これは、>>135に書いたように、N→100×Nと100×N→Nと両方可能だろうと
この文脈でR^NのＮの定義と決定番号の集合をどう考えるか？

当然、Ｎは>>106引用の可算無限集合
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
(抜粋)
省13

150(2): 2016/11/05(土)21:07 ID:l70uwVZ9(2/5) AAS
>>149
> つまり、Ｎが可算無限を認めるなら、Ｋは可算無限
>
> 決定番号の集合が、可算無限集合を認めるならば、決定番号は必ず有限は言えないだろう

スレ主の脳内：
決定番号の集合Kが上に有界でない→決定番号は有限値とは言えない

だせー間違いだなおいｗ

151(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)21:09 ID:DzICE8Th(40/47) AAS
>>149 補足

>>149はそもそも>>143の(1)決定番号が有限の値の場合に対する批判だが
（つまり、（キマイラでない）通常の数列の場合でも、必ず有限とは言えない）

”(2)決定番号が無限大になった場合
決定番号より小さい添字を持つ数列はN1であるから数列A=N1(+)N2から通常の数列N1を得ることができる
N1を用いて決定番号を求めれば有限の値が得られる”

も意味わからん

152(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)21:12 ID:DzICE8Th(41/47) AAS
>>150

ああ、そうだね
間違いだね
言い直そう

Ｋは可算無限、Ｎと同じく可算無限
それで話は合うだろ？

153(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)21:21 ID:DzICE8Th(42/47) AAS
>>152 補足

コンパクト性定理があるから（下記）、超準自然数系を考えても良いが、いまはそれは仮定していないからね
普通の自然数に無限大自然数は含まれないね

外部ﾘﾝｸ:d.hatena.ne.jp
2005-12-07 - 檜山正幸のキマイラ飼育記
(抜粋)
●コンパクト性定理

モデル論の「コンパクト性定理」とは、論理式の集合Aがモデルを持つかどうかに関する主張である。

・Aの任意の有限部分集合がモデルを持つ ⇔ Aがモデルを持つ
省7

154: 2016/11/05(土)21:27 ID:rB//53Un(3/3) AAS
>>149
>>151
100列じゃなくて2列で話をするが

自然数全体の集合 N=1, 2, 3, 4, 5, ... があって偶数と奇数の2つに分けた場合
奇数全体 1, 3, 5, 7, ... はNと順序同型
偶数全体 2, 4, 6, 8, ... はNと順序同型
(キマイラ数列) 1, 3, 5, 7, ... , 2, 4, 6, 8, ... はNと順序同型でない (2の直前の項は存在しない)

Nと順序同型ならば決定番号は有限の値をとり(説明は過去スレにある)

> 自然数全体の集合 N との間に全単射が存在する

数列の順序を変えないで固定してアタマから順番に自然数と対応付けていくと
省3

155(1): 2016/11/05(土)21:36 ID:l70uwVZ9(3/5) AAS
>>152
> ああ、そうだね
> 間違いだね
> 言い直そう
>
> Ｋは可算無限、Ｎと同じく可算無限
> それで話は合うだろ？

合うだろ？って言われても何がなんだか。
結局何を言いたいの？
KはたしかにNと同じく可算無限だよ。それがどうした？

156(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)21:41 ID:DzICE8Th(43/47) AAS
>>149-153

まあ、ここら時枝記事の>>114-116
けっこうはちゃめちゃなことをやっている

可算無限個の箱を、仮に１列にならべる
　↓
可算無限個の箱を、仮に１００列にならべかえる
　↓
可算無限個の数列を、しっぽで同値類分類
　・
　・
省3

157(2): 2016/11/05(土)21:56 ID:bYoSqjNE(1) AAS
はあ？コンパクト性は超フィルタが自然？
分かった風なこと言うなパーチクリン
被覆が自然なのが当たり前

158(1): 2016/11/05(土)22:05 ID:l70uwVZ9(4/5) AAS
>>156
> けっこうはちゃめちゃなことをやっている
全然はちゃめちゃではない。
R^Nから100個のR^Nを作ることは構成的にできる。
記事の同値関係〜も無矛盾。

> でもまあ、ここらで終わりでいいでしょ
俺もそう思う。お前は時枝問題を語るのをやめたほうがよい。

159(1): 2016/11/05(土)22:51 ID:wlZe4quV(2/4) AAS
>>135
ビデオの逆回しが可能だという主張は逆写像が存在するということしか述べておらず、集合としての同等を示しません
集合としての同等を示すには外延性公理からそれぞれの要素が等しいことを示し必要があります
ところが2×N、より正確にはω×2だけどこれはNではあるωとは異なります。
なぜならω∈ω×2ですが、ω∉ωだからです。
以上よりωとω×2は濃度としては同じですが集合としては異なります。

160(5): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/05(土)23:00 ID:DzICE8Th(44/47) AAS
>>155

Ｋは可算無限、Ｎと同じく可算無限
それで話は合うだろ？

ここ（>>149）で言っていることは、決定番号の集合Ｋは数列の長さＮから影響を受けるということ
例えば、簡単にZ^Nで考えよう（Z^N⊂R^N。(本当は正整数で済むが、N^Nでは混乱するから）)

>>110でしたように、πを少数展開して、可算無限長の数列を考えよう。πから小数点を抜いた数列を作る。それをs(π)とする
s(π)∈Z^Nを認めるとしよう　∵πは超越数だから

>>110でしたように、lim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 2718281828459…を示した。e＝ 2.718281828459…だ
ここで、e＝ 2.7に変更とすると、同様にlim(n→∞) π'’n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 27　が得られる。これから得られる数列をAとしよう
e＝ 1.7に変更とすると、同様にlim(n→∞) π'''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 17　が得られる。これから得られる数列をBとしよう
省12

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