現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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326: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/19(土) 14:02:37.43 ID:0Q0Vh9CE

>323
「有限主義」だね
”これでは現代数学が、基礎からもろとも崩れ去ってしまうのではないかと思われるでしょう。そうです。ウィトゲンシュタインは現代数学をまったく認めていません。集合論を基礎におく現代数学など、そもそも誤解から成り立っているものでしかないのだというのです。”
”現代数学の擁護者たちは、あきれ果てて、もはや見解の相違だといって、議論もすることなく去っていってしまうでしょう。ウィトゲンシュタインはそれを承知です。それでもなお、現代数学は間違っているというのがウィトゲンシュタインの主張なのです。”
http://swansong3478.web.fc2.com/index.html
真の哲学体系を求めて Ｖｅｒ.２ 横井直高
http://swansong3478.web.fc2.com/2/001210ver2.html
第２１節　不動の一者から逃れ得たウィトゲンシュタイン
(抜粋)
間違いを正すというところにこそウィトゲンシュタインの哲学者としての正義があります。それは哲学だけでなく、数学にも及びます。

ウィトゲンシュタインは厳格な有限主義の立場をとります。数学における数とは、私たちが日常使っている限りの数字だけで十分だというのです。たとえば私たちはだいたい１２桁程度の電卓を使っています。これを基準にするなら、最高、１２桁までの自然数があれば十分だというのです。

確かに、私たちの日常にとって、電卓の桁を越えてしまうような桁など、めったに扱うことはありません。そうとするなら、それ以上の数などなくても、いったい、どんな不都合があるだろうかとウィトゲンシュタインは問うのです。

このような問いに対して、私たちはすぐに反発したくなります。たとえば、これでは現代数学が、基礎からもろとも崩れ去ってしまうのではないかと思われるでしょう。そうです。ウィトゲンシュタインは現代数学をまったく認めていません。集合論を基礎におく現代数学など、そもそも誤解から成り立っているものでしかないのだというのです。

これでは、現代数学の擁護者たちは、あきれ果てて、もはや見解の相違だといって、議論もすることなく去っていってしまうでしょう。ウィトゲンシュタインはそれを承知です。それでもなお、現代数学は間違っているというのがウィトゲンシュタインの主張なのです。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/326

329: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/19(土) 14:07:10.71 ID:0Q0Vh9CE

>>328
http://www.shayashi.jp/
林晋, 京都大学大学院文学研究科 現代文化学専攻 情報・史料学教授
http://www.shayashi.jp/vitae-jp.html#papers
http://www.shayashi.jp/gendaishiso.html
ヒルベルトと２０世紀数学 -公理主義とはなんだったか？- 雑誌「現代思想」、２０００年１０月臨時増刊 (林晋 はやしすすむ・数理論理学)
(抜粋)
現代思想2000年１０月臨時増刊「数学の思考」掲載の「ヒルベルトと２０世紀数学」の完全版です。OCRで読み込んだので、おかしなところがあるかもしれません。気づかれましたら、お教えください。BBSの方で結構です。（これについては、匿名でもかまいません。）

1　はじめに

二〇世紀最後の今年はヒルベルトの「数学の問題」一〇〇周年にあたる。それはまた「公理主義」一〇〇周年でもある。この機会に二〇世紀数学の方向を決定づけたといわれるヒルベルトの数学とは何だったのか、「公理主義」とはなんだったのか、それは二〇世紀数学にとって何をもたらしたかを考えてみたい。

現代の我々が「構造」として捉えるものをヒルベルトは「証明・論理」により捉えようとしたらしい。現代の我々にとって公理とは、集合論や圏論などの言語により、ブルバキ的な「集団としての構造」を記述する条件であるが、ヒルベルトにとっては公理はよりシンククティカルなものであった。
なぜだろうか? 公理論を数学の存在論として捉えるヒルベルトにとっては、「言語のもつ有限性」こそが重要だったからである。「幾何学基礎論」や「数の概念について」の公理系はある種の極大構造を定義している。たとえば「数の概念について」の実数論の公理系が記述しているものは極大アルキメデス順序体である。
我々は当然集合論を前提としてこれを理解する。特に実数の完備性を保証する極大という条件は非常に集合論的である。しかし、奇妙なことに一九〇〇年のヒルベルトは、極めて集合論的なこの極大性条件さえ「有限性」を実現するものとして捉えている。
ヒルベルトは、実数の有限個の公理から・有限ステップの証明だけで考えることにより、カントールのように任意の基本列を考える必要がなくなり、この極大性の公理により一無限の世界が排除されクロネッカーの批判から免れると主張した。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/329

335: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/19(土) 14:32:00.99 ID:0Q0Vh9CE

>>333
Scottのトリック補足

http://alg-d.com/math/ac/card2.html
本当は怖い濃度の話 : 選択公理 | 壱大整域 2013年10月27日更新
(抜粋)
この定義は明らかに選択公理に依存しています．では選択公理を使わずに濃度が定義できるのかというと，Scottのトリックというものを使い定義することができます．

https://en.wikipedia.org/wiki/Scott%27s_trick
Scott's trick
(抜粋)
In set theory, Scott's trick is a method for giving a definition of equivalence classes for equivalence relations on a proper class (Jech 2003:65). The method relies on the axiom of regularity but not on the axiom of choice.
It can be used to define representatives for ordinal numbers in ZF, Zermelo?Fraenkel set theory without the axiom of choice (Forster 2003:182). The method was introduced by Dana Scott (1955).

Beyond the problem of defining set representatives for ordinal numbers, Scott's trick can be used to obtain representatives for cardinal numbers and more generally for isomorphism types, for example, order types of linearly ordered sets (Jech 2003:65).
It is credited to be indispensable (even in the presence of the axiom of choice) when taking ultrapowers of proper classes in model theory. (Kanamori 1994:47)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/335

337: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/19(土) 14:57:04.59 ID:0Q0Vh9CE

>>333 補足
数学の哲学
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%81%AE%E5%93%B2%E5%AD%A6
数学の哲学
(抜粋)
数学の哲学（すうがくのてつがく、英: philosophy of mathematics）は、哲学（科学哲学）の一分野で、数学を条件付けている哲学的前提や哲学的基礎、そして数学の哲学的意味を研究するものである。数理哲学とも言われる。

20世紀の初めに形式論理学と集合論が驚くべき、そして反直感的な発展を遂げた結果、「数学の基礎」と伝統的に呼ばれてきたものに関係する新たな疑問が生じた。
紀元前300年前後のユークリッドの時代以来、公理に基づく手法は、数学の自然な基点だと受け止められていたが、20世紀が進むにつれ、当初の関心の焦点が拡張され、数学の基礎的な公理に対する制限のない探求へと至るようになった。
公理、命題、そして証明といった観念、そしてまた数学的対象の命題の真理についての観念が、形式化され、数学的に扱うことが許されるようになった。ツェルメロ＝フレンケルの公理系は、多くの数学的議論を解釈する概念的枠組みを提供するものとして集合論を定式化した。
物理学におけるのと同様に数学においても、新しい、予期しないアイデアが登場し、特筆すべき変化が訪れた。ゲーデル数によって、数学理論の無矛盾性の研究が可能となった。
検討されている数学的理論が「それ自体、数学的研究の対象となる」という反省的批判を、ヒルベルトは「超数学」（メタ数学）（英: metamathematics）又は「証明論」（英: proof theory）と呼んだ[3]。

20世紀の中ごろ、圏論として知られる新たな数学理論が、自然言語による数学的思考に対する新たな競争者として登場した（Mac Lane 1998）。

論理主義
論理主義は、数学は論理学に還元可能で、ゆえに数学は論理学の一部以外の何者でもないというテーゼである（Carnap 1931/1883, 41）。

形式主義
詳細は「形式主義 (数学)」を参照
形式主義とは、数学的言明はいくつかの記号列の操作ルールの帰結についての言明とみなしてよいと考えるものである。

構成主義
詳細は「構成主義 (数学)」を参照
直観主義と同様、構成主義もまた、一定のいみで明白に構成することのできる数学的なものだけが数学的言説において認められるべきであるという規制原理を主張する。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/337

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