現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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576: １３２人目の素数さん [sage] 2016/11/27(日) 18:49:18.04 ID:lTB4w9cF

> 無限数列のしっぽでの同値類分類：数列のしっぽが一致すれば同値＝つまりは、数列の最後の数が一致するかどうか
> 有限数列であれば、なんの問題もない。だが、可算無限個の箱に入った数列ではどうか？

>>498や
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1475822875/35 の補足になるが
a0=1, a1=1.4, a2=1.41, a3=1.414, a4=1.4142, ... , a(D-1), aD=√2, √2, √2, √2, ...
b0=1, b1=4, b2=1, b3=4, b4=2, ... , b(D-1), bD={√2の小数点以下n桁目}, b(D+1)={√2の小数点以下n+1桁目}, ...
a0=2, a1=2.7, a2=2.71, a3=2.718, a4=2.7182, ... , a(D-1), aD=e, e, e, e, ...
b0=2, b1=7, b2=1, b3=8, b4=2, ... , b(D-1), bD={eの小数点以下n桁目}, b(D+1)={eの小数点以下n+1桁目}, ...

時枝記事の極限(べったり版)の場合だとa0はある項以降が全て同じ数字になってaD=√2, √2, √2, √2, ... であり
ある項以降が全て√2であることを(√2)^*で表せばa0=1, a1=1.4, a2=(√2)^*やa0=1, a1=1.4, a2=1.41, a3=1.414, a4=(√2)^*と書ける
またa0=1, a1=1.4, a2=(e)^*やa0=2, a1=2.7, a2=2.71, a3=(√2)^*などとも書ける

anからbnの変換はbD={(√2)^*の小数点以下D桁目以降}などと書けば
b0=1, b1=4, b2={(√2)^*の小数点以下2桁目以降}やb0=1, b1=1.4, b2=1.41, b3=1.414, b4={(√2)^*の小数点以下4桁目以降}
b0=1, b1=4, b2={(e)^*の小数点以下2桁目以降}やb0=2, b1=7, b2=1, b3={(√2)^*の小数点以下3桁目以降}と書ける
この場合はシッポが一致するかどうかは最後の()^*の中の数が一致するかによる

{(√2)^*の小数点以下n桁目以降}などを全て可算無限個の数字に置き換えることは
> "全ての箱に数を入れる行為"までは、問題の仮定だからOK
> スレ主は(R^Nの)任意の無限数列が出題可能であると仮定しているのでしょう？
> 当然。
可能であると仮定されている

スレ主曰く「当然。」

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/576

584: １３２人目の素数さん [sage] 2016/11/29(火) 17:41:46.78 ID:GlCgAQ0n

>>566
あと、
>さて、命題A：「Tran ∈ 超越数、 Algn ∈ 代数的数」→ 命題B：「Tran と Algnとは同じしっぽの同値類に属さない」 が言える
>∵無限少数展開のしっぽは一致しないから
>
>つまり、命題Aで、超越数や代数的数という情報を与えたから、命題Bが言えたのだ
>（ここが、ヴィタリ集合論と類似の議論（有理数、無理数という情報を与えてヴィタリ集合の存在を導く）だ)
>
>問題は、超越数や代数的数という情報が、与えられていないときに、命題Bが言えるのか？
>εはいくらでも小さく取れるから、頭からしっぽに近い部分まで、いくらでも一致させることはできる
>
>それで、命題Bが言えるには、具体的にどういう情報が必要なのだろうか？
>（そこをすっきり理論的に解明できれば、論文が一つ書けるだろう ）　そこを時枝記事はスルーしているのだよ
について。標数を0として考える。10進無限小数展開された実数を任意に取り、xとする。
任意に、実数体Rの完全不連結な部分体K(Kは、例えば Q(e)  eはネイピア数 などのような或るRの部分体の超越拡大体でもいい)
を取る。そうすると、実数xがK上代数的か超越的かどちらなのか、が分かればいい。実数xについて或る体K上代数的か超越的か
のどちらなのかが分からないなら、これが分かればいい。そのことが分かれば、あとは、複素数体C上ではKの代数的閉包Fが存在し、
K∩F はRの部分体で体の拡大 F/K の部分体だから、x∈K∩F⊂F (xがF上代数的) か x∈R＼(K∩F) のどちらなのかが分かる。だから、上の
>さて、命題A：「Tran ∈ 超越数、 Algn ∈ 代数的数」 → 命題B：「Tran と Algnとは同じしっぽの同値類に属さない」 が言える
>∵無限少数展開のしっぽは一致しないから
と同様なことがいえて、Bと同様な命題が成り立つための1つの十分条件が分かる。スレ主のいう
>問題は、超越数や代数的数という情報が、与えられていないときに、命題Bが言えるのか？
という問題は、超越数や代数的数の定義から、任意に与えられかつ10進無現表示された実数xの超越性を判定する問題に帰着される。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/584

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