現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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263: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/12(土) 07:10:04.99 ID:CRbt3jrT

レベル合わせをしておこう
現代数学は、無限を扱うことができる

１）無限について
http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/~nishioka/
西岡國雄の頁 中央大
http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/~nishioka/cardinal_15.pdf
「数学入門」の「無限」西岡國雄 中央大  2015

”現代数学の特徴は, 無限を頻繁に扱う点にあるが, 例題1.1, 1.2 に示されるように, 無限を扱うには特別の注意が必要である.”
”可算無限(アレフゼロ) と呼ぶ( 「N の濃度はアレフゼロ」)”
”1.3 有理数から実数へ “有理数からなる数列”で「基本列」と呼ばれる性質(1.7) を備えたものの極限全体を考え, それを実数R とよぶ.”（いわゆるコーシー列）

２）”無限（むげん、infinity）とは、限りの無いことである。
直感的には「限界を持たない」というだけの単純に理解できそうな概念である一方で、直感的には有限な世界しか知りえないと思われる人間にとって、無限というものが一体どういうことであるのかを厳密に理解することは非常に難しい問題を含んでいる。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90 より

２'）∞は無限を示す記号である。数字の8を90度回転したような記号である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E2%88%9E

３）公理的集合論：現在一般的に使われている集合の公理系は以下の ZFC である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
無限公理と選択公理

４）極限　”無限遠点における挙動 関数の無限における極限においても、関数の発散を考えることができる。 f ( x ) → ∞ ( x → ∞ ) と表す。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90

５）超限帰納法 ”数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。 任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/263

269: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/12(土) 07:34:47.45 ID:CRbt3jrT

これいいわ
http://mathsoc.jp/publication/tushin/1003/takahashi.pdf
加藤 五郎 著 『コホモロジーのこころ』 岩波書店  2003 年
(抜粋)
専門書としては珍しいが，一般的な数学書で繰り返し登場する「定義」や「定理」
といった単語で始まるパラグラフが，この本にはほとんど見当たらない．「証明」で始まるパ
ラグラフにいたっては，まったく存在しないのである．では，書かれている結果に証明はま
ったく施されていないのか．そうではない．むしろ非常に証明に力が入れられている．証明
は，パラグラフとして独立していないだけで，本文中にしっかり織り込まれているのだ．こ
のような構成になっているのは，読者が著者と同じ意識レベルで読み進められるように著者
が工夫した結果である．
本書を読んで最も印象に残ったことは，著者のコホモロジーに対する思いである．著者は
コホモロジーに心底惚れ込んでいる．コホモロジーが持つ魅力を読者にもわかってほしい，
読者とこの感動を共有したい，という著者の願いが随所に感じられる．実際，その気持ちの
強さは，非常に懇切丁寧な書き方にも反映されている．例えば，右随伴関手の定義をした後
に，普通の本なら「同様に」あるいは「双対的に」といった枕詞に続けて左随伴関手の定義
もできるとだけ言って終わってしまうところを，本書では練習問題にもせずにきちんと説明
してあるのだ．ただ，それゆえにスマートに整理されて書かれているというわけではないの
で，読者はどこに何が書いてあったかを後で振り返る際に多少苦労するかもしれない．しか
し，他の本が省略しているようなところがきちんと説明されているので，読者は自分の理解
が正しいかどうかを自分自身でチェックすることができる．これは特に初学者にとってあり
がたい書き方である．また，数学的に若い人たちにはコホモロジーというものを大きくつか
んでもらい，コホモロジーに対して何らかの違和感を持っている人にはそれを解消してもら
うために本書を書いた，と著者自身が言っているように，本書は‘イメージ’をとても大切
にしている．抽象的な概念は，初学者にとってはイメージが湧きにくくなかなか理解しがた
いものである．その理解を助けるために，著者ならではの独特のイメージが本書全体に散り
ばめられている．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/269

272: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/12(土) 08:06:34.09 ID:CRbt3jrT

>>268 補足
定理とその帰結
ゲーデルの完全性定理は、一階述語計算の演繹系が、全ての論理的に妥当な論理式の証明に追加の推論規則を必要としないという意味で「完全」であるとしている。完全性の逆は健全性であり、演繹系において論理的に妥当な論理式のみが証明可能だということを意味する。
これらから、論理式が論理的に妥当であることと、それが形式的演繹の帰結であることは同値である。

ゲーデルの完全性定理をより一般化した版もある。すなわち、任意の一階の理論 T とその理論での言語における任意の命題 S について、T における S の形式的演繹が存在することと、S が T のあらゆるモデルで成り立つことは同値である。
この一般化された定理は暗黙のうちに使われており、例えば、命題を群論の公理系で証明可能であることを示すとき、任意の群についてその命題が成り立つことを示すことで証明とする。

異なるモデルでも真となることを扱う数理論理学の一分野をモデル理論と呼ぶ。証明論という一分野では形式体系の証明そのものの構造を研究する。完全性定理は意味論と統語論の間を繋ぐことでこれら2つの分野の基本的な繋がりを確立している。
しかし、完全性定理はこれら2つの概念の差異をなくすものではない。実際、もう1つの成果であるゲーデルの不完全性定理によれば、数学における形式的証明で達成できることには本質的な限界がある。不完全性定理でいう「完全」は別の意味で使われている。
完全性定理は一階の理論の論理的帰結である論理式を扱い、不完全性定理は特定の理論の論理的帰結にはならない論理式を構築する。

完全性定理の重要な帰結の1つとして、一階の理論での論理的帰結の集合が帰納的可算集合であるという事実がある。論理的帰結の定義は特定の言語でのあらゆる構造上で全称化するもので、論理式が論理的に妥当かどうかをアルゴリズム的に検証する直接の手段とはならない。
さらに言えば、ゲーデルの不完全性定理の帰結により、論理的に妥当な論理式の集合は決定可能ではない。しかし完全性定理は、実効的な理論の帰結の集合が枚挙可能であることを示している。
そのアルゴリズムは、まずその理論から全ての形式的演繹を枚挙する方法を構成し、それを使って帰結の枚挙を生み出すことになる。
形式的演繹の有限かつ統語的性質により、それらを枚挙することが可能になっている。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/272

273: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/12(土) 08:16:01.37 ID:CRbt3jrT

>>272
英語版 （日本語版だけではよくわからん）
https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_completeness_theorem
(抜粋)
As a theorem of arithmetic

The Model Existence Theorem and its proof can be formalized in the framework of Peano arithmetic.
Precisely, we can systematically define a model of any consistent effective first-order theory T in Peano arithmetic by interpreting each symbol of T by an arithmetical formula whose free variables are the arguments of the symbol. However, the definition expressed by this formula is not recursive.

Consequences

An important consequence of the completeness theorem is that it is possible to recursively enumerate the semantic consequences of any effective first-order theory, by enumerating all the possible formal deductions from the axioms of the theory, and use this to produce an enumeration of their conclusions.

This comes in contrast with the direct meaning of the notion of semantic consequence, that quantifies over all structures in a particular language, which is clearly not a recursive definition.

Also, it makes the concept of "provability," and thus of "theorem," a clear concept that only depends on the chosen system of axioms of the theory, and not on the choice of a proof system.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/273

274: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/12(土) 08:17:11.54 ID:CRbt3jrT

>>274 つづき

Relationship to the incompleteness theorem

Godel's incompleteness theorem, another celebrated result, shows that there are inherent limitations in what can be achieved with formal proofs in mathematics. The name for the incompleteness theorem refers to another meaning of complete (see model theory ? Using the compactness and completeness theorems).

It shows that in any consistent effective theory T containing Peano arithmetic (PA), the formula CT expressing the consistency of T cannot be proven within T.

Applying the completeness theorem to this result, gives the existence of a model of T where the formula CT is false. Such a model (precisely, the set of "natural numbers" it contains) is necessarily non-standard, as it contains the code number of a proof of a contradiction of T. But T is consistent when viewed from the outside.
Thus this code number of a proof of contradiction of T must be a non-standard number.

In fact, the model of any theory containing PA obtained by the systematic construction of the arithmetical model existence theorem, is always non-standard with a non-equivalent provability predicate and a non-equivalent way to interpret its own construction, so that this construction is non-recursive (as recursive definitions would be unambiguous).

Also, there is no recursive non-standard model of PA.

(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/274

275: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/12(土) 08:43:24.78 ID:CRbt3jrT

ご存知大栗先生
http://ooguri.caltech.edu/japanese
大栗 博司
http://www.theory.caltech.edu/~ooguri/outreach_j.htm
大栗 博司 アウトリーチ
(「IPMU特集」科学 (2009年, 7月) )
http://www.theory.caltech.edu/~ooguri/mathuniverse.pdf
宇宙の数学とは何か - Caltech Particle Theory 特集　宇宙はどんな《言葉》で書かれているか 宇宙の数学とは何か 大栗博司 科学 2009
(抜粋)
なぜいまさら量子論（その1）: 千年紀の問題

1970 年代初頭のゲージ理論のくりこみ可能性の証明と漸近的自
由性＊3の発見によって，場の量子論はようやく素
粒子物理学の基本言語となった．しかし，80 歳
となった今日でも，場の量子論は数学者からは理
論として認知されていない（6）（7）．
2000 年にクレイ数学研究所は千年紀を記念し
て，7 つの“ミレニアム問題” を提起した．その
中の1 問に，「ヤン-ミルズ場の量子論を数学的
に定式化せよ」というものがある（8）．このいわゆ
るヤン-ミルズ問題が，リーマン予想やポアンカ
レ予想と並んでミレニアム問題のひとつに選ばれ
た理由は，場の量子論に数学者にも納得できる定
義を与えることで，この理論を数学の1 分野とし
て確立し，数学の発展に新しい方向が開かれるこ
とを期待するからだという．
場の量子論の正しい定式化を追究することは，
数学者を満足させるためだけではない．物理学者
が場の量子論の計算をするときに，最初に試みる
近似法は，相互作用の強さを表す結合定数につい
てのべき展開，すなわち摂動展開である．過去
60 年以上にわたって，この近似計算にはファイ
ンマン図を使う方法が標準的であった．しかし，
ここ数年の間にこれに代わるまったく新しい方法
が開発されつつあり，ファインマン図の方法では
技術的に困難とされてきた高次の近似計算ができ
るようになってきた（9）．摂動展開のような，もは
や調べ尽くされたと思われていた部分にも新しい
驚きがあり，美しい数学的構造が隠されている．
われわれは，場の量子論とは何なのかをまだ理解
していないのである．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/275

282: １３２人目の素数さん [sage] 2016/11/12(土) 17:34:11.10 ID:vHlUydxk

>>281
これがスレ主の"連結理論"の萌芽。確かに2ヶ月前にさかのぼる。
R^Nとは何なのか、トンと分からないまま時間だけが過ぎてゆくスレ主であった。

-------------
632 :
１３２人目の素数さん
2016/09/17(土) 08:13:09.27 ID:MokdApDK
前スレ32より

時枝問題（数学セミナー2015.11月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.」
”可算無限個ある.箱”なので、箱に連番を振れば、自然数全体の集合 N= {0,1,2,3,・・・}であり、これはωだな

さて、ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス（ Hilbert’s paradox of the Grand Hotel ）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9

で、時枝記事 前スレ32より「どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.もちろんでたらめだって構わない.」だった

まあ、無限ホテルの各部屋が満員で、それぞれ泊まっている人が勝手に数字を書いたと思え
それで可算無限個の数からなる数列ができる。それをS1としよう。数列S1の長さは、ωだ

数列S1のコピーを作って連結し、S2＝S1+S1 (ここで+は数列の連結を意味する)を作る。数列S2の長さは、ω+ωだ(もちろんこれも可算無限)
ここで、後ろの数列+S1を固定し、前半のS1をシャッフルしてS1’を作る。ここで機械を使ってランダムにシャッフルしたとする。S1’がどうなったかだれも知らないとする

ここで、時枝問題の決定番号を考えると、数列S1+S1と数列S1’+S1S2との対比の最大値は明らかにωだ
それはおかしいと、納得できないという人がいるかも知れないが、そういう人は、ヒルベルトの無限ホテルのパラドックスを熟読願いたい

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/282

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