[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net (716ﾚｽ)
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640(4): 2016/12/03(土)16:44 ID:mQeh06cb(2/6) AAS
>>612
>つまり、単に有限からの類推を示したにすぎない（結局実際には可算無限を直接見ていないのだ）
おっちゃんです。
可算無限を実無限の世界で直接見ることが出来ると思っていることが間違い。
実無限の世界で可算無限を直接見ることが出来るとする。
平面Cに無限遠点∞を加えることで、リーマン球面 P^1＝C∪{∞} が構成される。
無碍遠点∞から P^1 上の点Pに引いた直線全体の集合をXとする。
無限遠点∞から引いた P^1 上のあらゆる点と交わらない直線との全体の集合をYとする。
S＝X∪Y とする。任意のXの直線と交わりかつYのあらゆる直線と交わらない平面が一意に存在し、
広義の複素平面 C∪{∞} は P^1 で表せる。複素平面 C とユークリッド平面 R^2 は同型で、
無限遠点∞と正の無限大 +∞ の絶対値について、|∞|＝|+∞|＝+∞ である。
従って、平面 C＝P^1＼{∞} から広義の複素平面 P^1 を構成したことと同様にして考えると、
平面 R^2 に対して無限遠点∞にあたる正の無限大 +∞ を点として加えて
広義の複素平面 P^1＝C∪{∞} にあたる広義の平面 R^2∪{+∞} が構成出来る。
広義の平面を P＝R^2∪{+∞} とおく。すると、広義の平面P上では、平面 R^2＝P＼{+∞} 上の
実無限での可算無限にあたる点としての +∞ を直接見られる。そして、広義の複素平面 P^1 上の
無限遠点∞は、平面C上の点0から任意の方向に半直線を引くと、実無限での正の無限大 +∞ にあたる点である。
従って、平面 R^2 上の原点 O(0, 0) から任意の方向に半直線を引いたとき、
可算無限にあたる点としての実無限での正の無限大 +∞ を見ることが出来ることになる。
しかし、Oから半直線を引いたとき、可算無限にあたる点としての実無限での正の無限大 +∞ を見られるのは、
Oからx軸の正方向に半直線を引いたときだけである。これで矛盾が導けた。
幾何的に見て、実無限の世界で可算無限を直接見ることは出来ないことは分かる。
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