[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net (716ﾚｽ)
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263(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/12(土)07:10 ID:CRbt3jrT(1/14) AAS
レベル合わせをしておこう
現代数学は、無限を扱うことができる
１）無限について
外部ﾘﾝｸ:c-faculty.chuo-u.ac.jp
西岡國雄の頁 中央大
外部ﾘﾝｸ[pdf]:c-faculty.chuo-u.ac.jp
「数学入門」の「無限」西岡國雄 中央大 2015
”現代数学の特徴は, 無限を頻繁に扱う点にあるが, 例題1.1, 1.2 に示されるように, 無限を扱うには特別の注意が必要である.”
”可算無限(アレフゼロ) と呼ぶ( 「N の濃度はアレフゼロ」)”
”1.3 有理数から実数へ “有理数からなる数列”で「基本列」と呼ばれる性質(1.7) を備えたものの極限全体を考え, それを実数R とよぶ.”（いわゆるコーシー列）
省13
264(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/12(土)07:10 ID:CRbt3jrT(2/14) AAS
>>263 つづき
６）なので、例えば有限集合について定義された２項演算＊を、無限の要素を含む２項演算に拡張することはよく行われる。数学的帰納法や極限を使って
７）集合の和（合併）∪なども、普段意識しないが、その類い。
８）順序集合ならば、合併は連接と見ることもできる。
９）文字集合を台集合とする有限のモノイドについて定義された２項演算＊連接を、無限の要素を含む２項演算に拡張することは、数学的帰納法を使えば容易だろう
265(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/12(土)07:11 ID:CRbt3jrT(3/14) AAS
>>264 つづき
さて、
１）数列とくれば収束という条件反射が、みなさんにも形成されているだろう いわゆるコーシー列
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org 数列
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org コーシー列
２）>>200や>>233で示したのは、コーシー列との比較で、時枝のしっぽによる無限数列の同値類を考えてみたのだった
３）数列のしっぽによる同値類。数列のしっぽとは、極限すれば最後の数。有限数列なら、最後の数Ａnが異なれば、つまりＡn≠Ａ'nなら、同じ同値類に属さない
４）これを、時枝記事で見ると、>>114「箱が可算無限個ある」から、これは先のレベル合わせでいう、可算無限(アレフゼロ) 。無限大記号∞。ここはしっかり押さえておこう。定義だから
省2
266(4): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/12(土)07:11 ID:CRbt3jrT(4/14) AAS
>>265 つづき
６）あきらかに、可算無限における”ヒルベルトの無限ホテル”>>51や”デデキント無限”>>116 の性質を使っている
７）さて、数列のしっぽによる同値類で、有限数列なら、最後の数Ａnが異なれば、つまりＡn≠Ａ'nなら、同じ同値類に属さない。極限 lim n→ ∞ を考えれば、可算無限数列に拡張できる
８）時枝記事の可算無限個ある箱から、先に３つ取っておく。名前を付ける。X,Y,Zと。
９）数列の先頭に、X 後ろにYZを置く。その間に順次残りの箱を入れて行く（数学的帰納法）。X ・・・YZという数列ができる。
省4
267(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/12(土)07:15 ID:CRbt3jrT(5/14) AAS
>>265
この程度、２ちゃんねるでは、スレが伸びるとはいわない
稼ぐなら、かそっている数学板などでやらずに他の板へ行けば、話は早い
そもそも、sage進行
ここは、おれ一人で十分という意味
なお、時枝の記事は不成立だよ
268(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/12(土)07:19 ID:CRbt3jrT(6/14) AAS
>>261
おっちゃん、どうも。スレ主です。
おっちゃんは、このスレに居ていいよ
貴重な住人の一人だよ
ゲーデルの完全性定理
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
(抜粋)
数理論理学においてゲーデルの完全性定理（ゲーデルのかんぜんせいていり、英: Godel's completeness theorem、独: Godelscher Vollstandigkeitssatz）とは、第一階述語論理の恒真な論理式はその公理系からすべて導出可能であることを示した定理を言う[1]。1929年にクルト・ゲーデルが証明した。
(引用終り)
269(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/12(土)07:34 ID:CRbt3jrT(7/14) AAS
これいいわ
外部ﾘﾝｸ[pdf]:mathsoc.jp
加藤 五郎 著 『コホモロジーのこころ』 岩波書店 2003 年
(抜粋)
専門書としては珍しいが，一般的な数学書で繰り返し登場する「定義」や「定理」
といった単語で始まるパラグラフが，この本にはほとんど見当たらない．「証明」で始まるパ
ラグラフにいたっては，まったく存在しないのである．では，書かれている結果に証明はま
ったく施されていないのか．そうではない．むしろ非常に証明に力が入れられている．証明
は，パラグラフとして独立していないだけで，本文中にしっかり織り込まれているのだ．こ
のような構成になっているのは，読者が著者と同じ意識レベルで読み進められるように著者
省17
270: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/12(土)07:35 ID:CRbt3jrT(8/14) AAS
ついで
外部ﾘﾝｸ:www.amazon.co.jp
(抜粋)
トップカスタマーレビュー
5つ星のうち 5.0他分野の研究者、学生のための最高の入門書
投稿者 猫先生 投稿日 2011/8/9
形式: 単行本
親しみやすい文体で書かれた異色の数学書である。私は、或る所で著者のコホモロジーの講義を拝聴した経験があるが、まさにこの本の文体そのままの、気さくで気取らない、親切な方であった。実質的には160ページそこそこの分量で、圏と関手の基礎から初めて、ホモロジー代数の現時点での到達点である「三角化カテゴリー」までを説き及んでいる。
Gelfand-Manin の Methods of Homological Algebra などの本格的教科書に取り組むための準備として最高の入門書であろう。
271: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/12(土)07:48 ID:CRbt3jrT(9/14) AAS
>>267 訂正
>>265
↓
>>256
272(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/12(土)08:06 ID:CRbt3jrT(10/14) AAS
>>268 補足
定理とその帰結
ゲーデルの完全性定理は、一階述語計算の演繹系が、全ての論理的に妥当な論理式の証明に追加の推論規則を必要としないという意味で「完全」であるとしている。完全性の逆は健全性であり、演繹系において論理的に妥当な論理式のみが証明可能だということを意味する。
これらから、論理式が論理的に妥当であることと、それが形式的演繹の帰結であることは同値である。
ゲーデルの完全性定理をより一般化した版もある。すなわち、任意の一階の理論 T とその理論での言語における任意の命題 S について、T における S の形式的演繹が存在することと、S が T のあらゆるモデルで成り立つことは同値である。
この一般化された定理は暗黙のうちに使われており、例えば、命題を群論の公理系で証明可能であることを示すとき、任意の群についてその命題が成り立つことを示すことで証明とする。
異なるモデルでも真となることを扱う数理論理学の一分野をモデル理論と呼ぶ。証明論という一分野では形式体系の証明そのものの構造を研究する。完全性定理は意味論と統語論の間を繋ぐことでこれら2つの分野の基本的な繋がりを確立している。
しかし、完全性定理はこれら2つの概念の差異をなくすものではない。実際、もう1つの成果であるゲーデルの不完全性定理によれば、数学における形式的証明で達成できることには本質的な限界がある。不完全性定理でいう「完全」は別の意味で使われている。
完全性定理は一階の理論の論理的帰結である論理式を扱い、不完全性定理は特定の理論の論理的帰結にはならない論理式を構築する。
完全性定理の重要な帰結の1つとして、一階の理論での論理的帰結の集合が帰納的可算集合であるという事実がある。論理的帰結の定義は特定の言語でのあらゆる構造上で全称化するもので、論理式が論理的に妥当かどうかをアルゴリズム的に検証する直接の手段とはならない。
省3
273: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/12(土)08:16 ID:CRbt3jrT(11/14) AAS
>>272
英語版 （日本語版だけではよくわからん）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
(抜粋)
As a theorem of arithmetic
The Model Existence Theorem and its proof can be formalized in the framework of Peano arithmetic.
Precisely, we can systematically define a model of any consistent effective first-order theory T in Peano arithmetic by interpreting each symbol of T by an arithmetical formula whose free variables are the arguments of the symbol. However, the definition expressed by this formula is not recursive.
Consequences
An important consequence of the completeness theorem is that it is possible to recursively enumerate the semantic consequences of any effective first-order theory, by enumerating all the possible formal deductions from the axioms of the theory, and use this to produce an enumeration of their conclusions.
This comes in contrast with the direct meaning of the notion of semantic consequence, that quantifies over all structures in a particular language, which is clearly not a recursive definition.
省2
274(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/12(土)08:17 ID:CRbt3jrT(12/14) AAS
>>274 つづき
Relationship to the incompleteness theorem
Godel's incompleteness theorem, another celebrated result, shows that there are inherent limitations in what can be achieved with formal proofs in mathematics. The name for the incompleteness theorem refers to another meaning of complete (see model theory ? Using the compactness and completeness theorems).
It shows that in any consistent effective theory T containing Peano arithmetic (PA), the formula CT expressing the consistency of T cannot be proven within T.
Applying the completeness theorem to this result, gives the existence of a model of T where the formula CT is false. Such a model (precisely, the set of "natural numbers" it contains) is necessarily non-standard, as it contains the code number of a proof of a contradiction of T. But T is consistent when viewed from the outside.
Thus this code number of a proof of contradiction of T must be a non-standard number.
省3
275(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/12(土)08:43 ID:CRbt3jrT(13/14) AAS
ご存知大栗先生
外部ﾘﾝｸ:ooguri.caltech.edu
大栗 博司
外部ﾘﾝｸ[htm]:www.theory.caltech.edu
大栗 博司 アウトリーチ
(「IPMU特集」科学 (2009年, 7月) )
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.theory.caltech.edu
宇宙の数学とは何か - Caltech Particle Theory 特集 宇宙はどんな《言葉》で書かれているか 宇宙の数学とは何か 大栗博司 科学 2009
(抜粋)
なぜいまさら量子論（その1）: 千年紀の問題
省31
276: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/11/12(土)08:43 ID:CRbt3jrT(14/14) AAS
>>275 つづき
一方，量子論に着想を得た数学は，この20 年
ほどの間に大きな進歩を遂げている（10）．これは，
1990 年以来のフィールズ賞受賞数学者の4 割近
くが，量子論に関連する数学の研究に深くかかわ
っていることからもわかる．たとえば，場の量子
論の計算の中でもとくに性質のよいものを数学的
に定式化した“量子不変量” の理論が，幾何学の
理解に大きなインパクトを与えている＊4．場の量
子論の深淵に現代数学の光が差し込もうとしてい
省2
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