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438: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/06/21(水) 17:45:05.16 ID:cGYdNhEa ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484923121/438
439: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/06/21(水) 17:45:25.70 ID:cGYdNhEa ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484923121/439
440: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/06/21(水) 17:45:44.65 ID:cGYdNhEa ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484923121/440
441: １３２人目の素数さん [] 2017/06/22(木) 00:35:25.20 ID:7Rt+NRL+ ω(↑^ω)ω=N_0 なんだって。そうなの？ https://mathoverflow.net/questions/112101/cardinality-of-omega-uparrow-omega-omega http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484923121/441
442: １３２人目の素数さん [sage] 2017/06/22(木) 02:59:50.52 ID:nydReERO ω(↑^ω)ωの濃度はアレフ0、つまり可算だと言っているだけで、特に不思議はないような。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484923121/442
443: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/06/22(木) 04:48:47.09 ID:TA0WspoK ★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★ ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484923121/443
444: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/06/22(木) 07:46:09.49 ID:TA0WspoK ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484923121/444
445: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/06/22(木) 07:46:27.38 ID:TA0WspoK ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484923121/445
446: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/06/22(木) 07:46:43.73 ID:TA0WspoK ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484923121/446
447: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/06/22(木) 07:46:59.94 ID:TA0WspoK ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484923121/447
448: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/06/22(木) 07:47:18.22 ID:TA0WspoK ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484923121/448
449: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/06/22(木) 07:47:35.73 ID:TA0WspoK ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484923121/449
450: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/06/22(木) 07:47:57.79 ID:TA0WspoK ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484923121/450
451: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/06/22(木) 07:48:17.21 ID:TA0WspoK ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484923121/451
452: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/06/22(木) 07:48:34.85 ID:TA0WspoK ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484923121/452
453: ￥ ◆2VB8wsVUoo [sage] 2017/06/22(木) 07:48:39.16 ID:TA0WspoK ￥ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484923121/453
454: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/01(土) 00:21:04.58 ID:7Mq6iIVS 天文学的確率でエントロピーが自然に減少することがなかったっけ？ グラハム数分の１よりは大きいんだろうけど http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484923121/454
455: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/05(水) 01:34:31.77 ID:6QmaXpqZ >>454の現象 ＜宇宙の取りりうる全パターンの順列 ＜グラハム数 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484923121/455
456: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/05(水) 21:01:18.55 ID:wGzquPmi ビジービーバー関数BB(n)は、任意の自然数nについてその値が定まると言っていいのだろうか? 例えば連続体仮説でよく知られるように、"可算無限濃度より大きく、連続体濃度より小さい濃度の個数" の値はZFCのモデルのとり方によって変わり、連続体仮説が真となるモデルなら0、そうでないなら0以外となる。 BB(n)の値も、自然数のモデルのとり方によって変わってしまうことはないか。 "自然数論(ペアノ算術)における妥当な論理式を枚挙し、矛盾を導出したら停止するチューリング機械M" を構成すると、 これが停止する <=> 自然数論は矛盾 となるから、 自然数論が無矛盾ならこの機械は停止しないはずである。 一方で、自然数論が無矛盾なら自己の無矛盾性は証明できないから、Mが停止しないことを証明できない。 一階述語論理の完全性より、恒真ならば証明可能なので、停止することも停止しないことも証明不能なら 停止するモデルと停止しないモデルの2つがありえる、ということになる。 (一階述語論理の完全性と呼ばれるものは、ゲーデルの第一不完全性定理で言うところの完全性(任意の論理式に ついて、その肯定か否定のどちらかが証明可能)とは全く意味が異なることに注意) そもそもチューリング機械Aが停止するとは、"Aがnステップ目で停止状態"を意味する論理式H_A(n)に対し、 ∃n (H_A(n))が真であることだと言える。 ∃n (H_M(n))が成り立つモデルと成り立たないモデルがあるとはどういうことか。 単純に、∃n (H_M(n))が成り立つ自然数論のモデルはより多くの自然数を含んでいる、ということである。 (集合論で言うところの、巨大基数公理が成り立つモデルのほうが、そうでないモデルよりたくさんの 集合を含んでいることに似ている) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484923121/456
457: １３２人目の素数さん [sage] 2017/07/05(水) 21:06:35.56 ID:wGzquPmi では、自然数論の公理PAに、∃n (H_M(n))を加えたことによって追加される自然数とは何か。 自然数論が無矛盾なら、Mは1ステップ目で停止しないだろう。同様に、2,3,4,...ステップ目でも停止しない。 追加される自然数はMが停止するまでにかかるステップ数だから、これをcとすると、 0<c, 1<c, 2<c, 3<c, 4<c,...が成り立つことになる。つまり、PAだけから存在を証明できるいかなる自然数 よりもcのほうが大きい、という奇妙な性質があることが分かる。このcが超準的自然数と呼ばれるもので、 これを含むモデルは超準モデルと呼ばれる。 冒頭の話に戻ると、状態数m以下でMを構成できるなら、Mが停止するモデルを選択すれば、 BB(m)の値は超準的自然数になってしまい、意味をなさなくなってしまう。 ならばBB(n)の定義に補足を加え、 "状態数n以下で(いかなる自然数のモデルでも)停止する機械のうち最も多く1を出力するもの" とすればこのような問題は起きないと思うかもしれない。 実はそれでもBB(n)の値は超準的自然数になってしまうのだが、それはまた後日の話とする。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1484923121/457
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