[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む31 [無断転載禁止]©2ch.net (805ﾚｽ)
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81(1): 2017/05/07(日)13:11 ID:DFZyfdaD(11/14) AAS
>>78
またもや定義提示拒否ですか
お前の考えている定義を共有しなきゃ議論しようが無いだろ？
つまりお前が望むのは議論の停止、簡単に言えば逃亡
82(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)16:32 ID:LvkNTLYs(1/36) AAS
>>42 前すれから、コンピュータ将棋関連
「浮かむ瀬」（激指14）の棋譜分析、人間の解説より明快だと思う・・（＾＾；
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
★藤井聡太デビュー戦 ★将棋 棋譜並べ ▲加藤一二三九段 vs △藤井聡太四段 第30期竜王戦6組ランキング戦 第4回将棋電王トーナメント準優勝「浮かむ瀬」の棋譜解析 No.295 2016/12/24 に公開 激指14
83(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)16:59 ID:LvkNTLYs(2/36) AAS
>>82 バランスとして、コンピュータ囲碁ソフト
無料囲碁ソフト『Leela（リーラ）』というのがあるそうです。
比較で、大橋 拓文６段解説もアップしておきます。
まあ、分かるのはＣ＋＋さんくらいかな（＾＾；
動画ﾘﾝｸ[YouTube]
囲碁AI 分析】井山裕太六冠 vs DeepZenGo【無料ソフト Leela】 sengoku9999
2017/03/25 に公開 【驚愕】無料囲碁ソフトもここまで来た！
ネット囲碁対局場「KGS」で8段とされる無料囲碁ソフト『Leela（リーラ）』を使って先日開催されたワールド碁チャンピオンシップ「井山裕太 六冠」 vs 「DeepZenGo」の対局を分析してみました。
囲碁解説では序盤から中盤まで井山六冠が優勢とされていましたが、今回の分析では井山六冠の優勢な局面はなく、ほぼ一方的に勝率が下がっていく様子が確認できました。
無料ソフトでこんなことが出来る時代になってしまいました。グローバル化した囲碁の開発スピードは想像以上に速いです。
省5
84(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)17:03 ID:LvkNTLYs(3/36) AAS
>>83 関連
外部ﾘﾝｸ:netdays365.com
【囲碁フリーソフト（ＡＩ）】KGS６段クラス！無料でダウンロード可能！ 日々ネット囲碁 公開日 : 2017年2月24日 / 更新日 : 2017年3月20日
(抜粋)
今回、こちらでは『ソフトのダウンロード方法』と『ソフトの簡単な操作方法』をご紹介していきます。参考にしてください。
外部ﾘﾝｸ[html]:okao-golab.seesaa.net
okaoの囲碁研究所 2017年02月24日 家庭に一台、囲碁ＡＩ「Leela」
(抜粋)
ベルギーの囲碁・チェスAI開発者であるジャン・カルロ・パスカットさんが、
囲碁AI「Leela（リーラ）」を無料でダウンロードできる形でこちらに公開しました。
省2
85: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)17:08 ID:LvkNTLYs(4/36) AAS
>>53-81
哀れな素人さんと、（文系）High level people さんたち、香ばしい数学ディベート、ご苦労さまです（＾＾；
86(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)17:09 ID:LvkNTLYs(5/36) AAS
私は、香ばしい数学ディベートには興味がないので、どんどん勝手にお願いします
私も、勝手にどんどんやりすので・・（＾＾
87: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)17:10 ID:LvkNTLYs(6/36) AAS
>>86 訂正
私も、勝手にどんどんやりすので・・（＾＾
↓
私も、勝手にどんどんやりますので・・（＾＾
88: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)17:29 ID:LvkNTLYs(7/36) AAS
勝手に、前スレより
2chｽﾚ:math
465 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/03(水) 09:23:21.02 ID:hJ9NLdiz
(抜粋)
６．で、カントール先生、フーリエ級数（収束）の研究から、無限集合論へ行った
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org 集合論 ”ゲオルク・カントールによるフーリエ級数の研究において、実直線上の級数がよく振る舞わない点を調べる過程で集合の概念が取り出された”
(引用終り)
ご存知高瀬正仁先生
外部ﾘﾝｸ[html]:ogiwara108.blog.fc&2.com
日々のつれづれ（オイラー研究所学術論叢）
省8
89(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)17:33 ID:LvkNTLYs(8/36) AAS
つづき （前掲で、外部ﾘﾝｸ[html]:ogiwara108.blog.fc&2.com は、ＮＧワード規制があり余計な&を挿入しています。これを外してください（＾＾
積分が定義されるとフーリエ級数を書き下すことができますが、はたして収束するか否か、収束するとすれば各点収束なのか、一葉収束なのか、収束しない点はどのように分布しているのか、収束するとしても、その極限は元の関数と一致するのかどうか、等々、基本的な問いに相次いで直面します。
コーシーが提案した微積分の再構築のアイデアの真価が、フーリエ級数を対象にして試されているかのような光景です。
ディリクレに続いてリーマンが現れて、ディリクレの研究を継承しました。
リーマンは1826年９月１７日にドイツのハノーバー王国のエルベ河畔のブレゼレンツという村に生れた人で、1846年、ゲッチンゲン大学に入学したのですが、翌１８４７年の春、あちこちの大学を遍歴するというドイツの大学生の習慣にしたがってベルリン大学に移り、そこでディリクレの講義を聴きました。
１８４９、ゲッチンゲンにもどり、１８５１年、「一個の複素変化量の関数の一般理論の基礎」という論文を提出し、ガウスの審査を受けて学位取得。
続いて1854年6月10日、ガウスの前で教授資格取得のための試験講演を行ない、合格しました。講演のテーマは「幾何学の根底に横たわる仮説について」というもので、これが今日のリーマン幾何学の土台になりました。
リーマンは三つの講演題目を提示したのですが、その中からガウスが選定したのがこの講演でした。他の二つの講演のひとつは「ふたつの未知量をもつふたつの二次方程式の解法について」。
もうひとつは関数のフーリエ級数展開の可能性を論じるもので、「三角級数による関数の表示可能性に関する問題の歴史」というのです。講演のテーマには選ばれませんでしたが、内容を書き綴った論文が、「三角級数による関数の表示可能性について」という題目を附されてリーマンの全集に収録されています。
リーマンに独自の定積分の定義が現れるのもこの論文で、これを受けて今日の微積分の定積分に対して「リーマン積分」の名が定着することになりました。
省2
90(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)17:34 ID:LvkNTLYs(9/36) AAS
>>89
つづき
この論文には有理数列の言葉による非有理数（無理数と同じです）の定義が記されていますが、フーリエ級数という無限級数の収束性を論じる以上、収束していく先の数の正体を明らかにしておかなければならないのは当然のことで、カントールは「単調有界数列の収束性」を証明しようとしたデデキントと同じ心情に包まれたのでしょう。
カントールはドイツのベルリン大学でヴァイエルシュトラスなどの講義を聴いて数学を学んだ人ですが、生地はロシアのペテルブルク。父はデンマークに生れた人で、母はロシア人です。生誕日は1845年3月3日ですから、デデキントより１４歳も若く、1872年10月の時点で満27歳でした。
19世紀の後半期には数学の厳密化ということに関心を寄せる傾向が強まったようで、カントールやデデキント、ハイネのほかに、ヴァイエルシュトラやメレーなどもそれぞれの流儀で「数」を把握する試みを提案しました。
(引用終り)
91(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)17:48 ID:LvkNTLYs(10/36) AAS
>>90 勝手に関連
同じくご存知高瀬正仁先生
外部ﾘﾝｸ[html]:ogiwara108.blog.fc&2.com は、ＮＧワード規制があり余計な&を挿入しています。これを外してください（＾＾
日々のつれづれ（オイラー研究所学術論叢）
微積分形成史の回想42 フーリエの関数とディリクレの関数 2015/01/10
(抜粋)
カントールの論文の題目に「三角級数論」という言葉が見られますが、三角級数というのはフーリエ級数と同じもので、フランスの数学者フーリエが1822年の著作『熱の解析的理論』において提示したことに由来して、フーリエの名を冠する呼称が生まれました。
金属版のような熱を伝えやすい物体における熱伝導の様子は熱伝導方程式と呼ばれる偏微分方程式で記述されますが、この方程式の解を求めるためにフーリエが導入したのがフーリエ級数です。
数理物理学の領域に大きな一歩を印した研究ですが、数学の方面から見て思い意味を担うのは、「まったく任意の関数をフーリエ級数により表示することができる」という、フーリエの大胆な宣言です。高木貞治先生の『解析概論』の第6章「Fourier式展開」で使われている記号を用いると、フーリエ級数というのは正弦関数と余弦関数を用いて作られる
（略）
省6
92(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)17:49 ID:LvkNTLYs(11/36) AAS
>>91 つづき
この状況はすでにオイラーが把握していたもので、フーリエもこれを踏襲したのですが、ディリクレはオイラーとフーリエの心に描かれていた関数、すなわちオイラーの第三の関数を心の外側に取り出して、明示的に言い表しました。
ディリクレの1837年の論文「まったく任意の関数の，正弦級数と余弦級数による表示について」には、「どのxに対しても、ただひとつの有限なyが対応する」とき、yをxの関数と呼ぶと明記されています。
ｘとｙは変化量とされていますが、視線が注がれているのは対応関係だけなのですから、ここに現れる変化量は実際には変化しません。また、xに対応するyは「ただひとつに限る」という一価性の限定が課されていますが、これは関数をフーリエ級数に展開しようとしているためです。
フーリエ級数で表される関数は必然的に一価だからです。ディリクレが提案した関数は今日の微積分に見られる関数と同じものです。
ディリクレは相当に早いころから抽象的な関数概念を手中にしていたようで、1829年の論文「与えられた限界の間の任意の関数を表示するのに用いられる三角級数の収束について」には、
「xが有理数のときはある定数cに等しく、xが無理数のときは他の定値dに等しい」
という、きわめて抽象度の高い関数が紹介されています。今日の微積分で「ディリクレの関数」とy呼ばれることのある関数です。
ディリクレはドイツの数学者ですが、若い日にパリに留学し、フーリエのもとで数学を学んだ経験の持ち主です。
(引用終り)
93(2): 2017/05/07(日)17:51 ID:0UuD6HOg(1/2) AAS
>>48
スレ主は無限回の操作が認められているから
> 箱に順番に、数{0, 1}（0か1のどちらか）をランダムに入れる。可算無限の数列ができる
が可能であるように思っているのかもしれない
無限回の操作を認めた場合でも(弱いバージョンも含めた意味での)選択公理を使わないといけないですよ
数字(0か1のどちらか)なら有限集合(2元集合)の族に対する選択公理
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
> 有限集合の族に対する選択公理
> ACn : n元集合からなる任意の集合族は選択関数を持つ。
> ZFでは AC2 を証明できない。
省3
94(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)17:53 ID:LvkNTLYs(12/36) AAS
>>92 勝手に
同じくご存知高瀬正仁先生
外部ﾘﾝｸ[html]:ogiwara108.blog.fc&2.com は、ＮＧワード規制があり余計な&を挿入しています。これを外してください（＾＾
日々のつれづれ（オイラー研究所学術論叢）
微積分形成史の回想41 厳密性を求める心 2015/01/09
デデキントは「有理数の切断」というアイデアに基づいて「数」の定義を考案し、「数とはこのようなものである」ということを言葉で記述することができるようになりました。そのおかげで収束する点列が向かって行く先で待ち構えている数の姿が実際に見えるようになり、「単調に増大する有界数列は収束する」という命題の証明が可能になりました。
それまでは「幾何学的な明証に逃げ道を求めていた」（デデキントの言葉）のですが、これでようやく微分法は厳密な学問になったというのがデデキントの考えです。
デデキントが「連続性と無理数」の序文を書いたのは1872年3月20日です。数の連続性の本質を発見したという確信を抱いたときから14年の歳月が流れ、デデキントは41歳になっていました。この間には二、三のお弟子たちを相手に語ったり、講演を行なったりしたこともありましたが、出版して公表するだけの決心にはいたりませんでした。
長期にわたる逡巡の後に、いよいよ公表する決意を固めつつあったところ。おりしも数日前に、というのは序文を書いている日の数日前という意味で、正確には3月14日のことですが、ハイネの論文「関数論の基礎知識」がハイネから直接送られてきました。
省4
95(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)17:57 ID:LvkNTLYs(13/36) AAS
>>93
シカトー。
数学ディベートお断り。
どうぞ、自分で証明書いてくださいね。
数学ではそれで十分なんですよ。証明お待ちしていますよ（＾＾；
96: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)17:59 ID:LvkNTLYs(14/36) AAS
ああ、つまらん枝葉の証明は結構です。不要です
>>43の
「この世に完全な乱数は存在しないから、時枝解法成立」の数学的証明とか
あるいは「非可測集合まで拡大した新確率論」で、非可測集合に対する確率の定義を書いて、「時枝解法成立」の数学的証明とか
お願いしますよ。よろしくね
97(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)18:16 ID:LvkNTLYs(15/36) AAS
>>94 勝手に
よく読んでみると、”40 デデキントの実数論”も必要だね
外部ﾘﾝｸ[html]:ogiwara108.blog.fc&2.com は、ＮＧワード規制があり余計な&を挿入しています。これを外してください（＾＾
日々のつれづれ（オイラー研究所学術論叢）
微積分形成史の回想40 デデキントの実数論 2015/01/07
オイラーが提案した関数の概念はラグランジュとコーシーの手にわたって微積分の根本概念になり、それからはもっぱら「関数の微分」と「関数の積分」が考えられていくようになりました。
曲線は関数のグラフとして認識されますが、これはオイラーの流儀です。関数の導関数の定義に接線は介在せず、かえって導関数の数値が接線の傾きを表すと理解されます。
関数の定積分は面積や弧長とは無関係に定義され、面積や弧長は積分計算に帰着されて算出されます。幾何的なイメージは消失し、どこまでも数式が連なって理論が繰り広げられていくのですが、ラグランジュとコーシーでは議論の仕方は大いに異なっていて、今日まで継承されることになったのは、極限の概念を基礎に置くコーシーの流儀でした。
極限の理論の根幹を作るのは「数列の収束」の概念ですが、19世紀の半ばころ、これに関連して新たな出来事がました。それは実数論に寄せる関心のたかまりで、「数」というものを定義しなければならないという考えが生まれたのですが、その根本的な要因は極限の概念にありました。
ドイツの数学者デデキントはゲッチンゲン大学でガウスに学んだ人ですが、卒業してスイスのチューリッヒのスイス連邦工科大学に赴任して微分法を教えることになりました。
省2
98(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)18:19 ID:LvkNTLYs(16/36) AAS
>>97 つづき
具体的に言うと、極限の理論の上に微分法を構築しようとするとき、根幹に位置するのは「単調に増大する有界数列は収束する」という命題ですが、
これを幾何学的直観に助けを借りて説明するのでは科学的とは言えないのではないかという思いに襲われて、「無限小解析の原理の純粋に数論的な全く厳密な基礎を見いだすまではいくらでも永く熟考しようと固く決心した」（デデキント『数について 連続性と数の本質』、河野伊三郎訳、岩波文庫）というのです。
「無限小解析」は微積分と同じで、ロピタルの著作の書名にこの言葉が見られました。
微分学が連続的量を取り扱うとは、しばしば言われているにもかかわらず、その連続性ということの説明はどこにも与えられていないとデデキントは指摘して、こんなふうに言葉を続けています。
〈微分学の最も厳密な叙述といっても、その証明は基礎を連続性におかず、幾何学的な、または幾何学によって生ぜしめられた表象の意識に多かれ少なかれ訴えるか、またはそれ自身いつになっても純粋に数論的に証明されないような定理に基づいているかのいずれかである。〉
このような言葉を見て思い当たることはいくつもありますが、たとえば関数y=f(x)の微分可能性を考える場合には(f(x+h)-f(x))/hという形の商を作ります。そうしてhを限りなく小さくしていくとき、極限値が存在するか否かを問題にするのですが、このような商がどうして微分可能性と関係があるのだろうと考えると、定義の文言を見ただけでは何もわかりません。
そこで(x,y)平面上に関数y=f(x)のグラフをΓを描き、その上に二点P(x, f(x))、Q(x+h, f(x+h))を定め、この二点を結ぶ直線L_hを作ります。幾何学的な表象が意識のカンバスに明瞭に描かれますが、ここでhを小さくしていくと、直線L_hは次第に傾きが変化して、極限状態において点Pにおける接線に重なり合うような印象を受けます。
この印象はきわめて明晰で疑いを挟む余地はありませんし、その印象に基づいて、関数の微分可能性というのは要するに曲線の接線の傾きを知るための手続きであろうという認識が生まれます。微分可能性は、曲線とその接線という表象に訴えて理解されていることになります。
つづく
99(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)18:21 ID:LvkNTLYs(17/36) AAS
>>98
つづき
関数の微分可能性と曲線の接線が密接に連携しているのは当然のことで、だからこそ(f(x+h)-f(x))/hという形の商を作るのですが、デデキントは幾何学的なイメージが表に出ないように心がけているように思います。その理由は厳密性の要請にあり、「無限小解析の原理の純粋に数論的な全く厳密な基礎」を見つけたいというのがデデキントの願いでした。
数列の収束ということを語るのであれば、極限値、すなわち数列がどこまでも近づいていく一個の数の存在を想定しなければなりませんが、これを証明するには「数」というものの実体が明らかになっていなければなりません。
「単調に増大する有界数列は収束する」という命題は、もし「その本来の起原を数論の基礎知識のうちに発見し、それと同時に連続性の本質についての真の定義を獲得」（同上）することができたなら、微積分にとって十分な基礎であることを、デデキントは確信するにいたりました。
デデキントがこの思索を始めたのは1858年の秋のことですが、同年11月24日に成功し、その数日後に、熟考の結果を親友のデュレージに打ち明けました。「永い活発な会話を引き起こした」（同上）ということです。
デデキントは1831年10月6日にガウスと同じブラウンシュヴァイクに生れた人ですから、微積分の基礎を発見したという確信を抱いたのは満27歳になってまもないときのことでした。
(引用終り)
100: 2017/05/07(日)18:22 ID:0UuD6HOg(2/2) AAS
>>95
別に証明というほどでもないが教科書の例題レベルなので
High level peopleでないスレ主のようなLow Guyでも簡単に理解できるでしょう
可算無限個の箱に "順番に" 数字(0か1のどちらか)を入れて可算無限数列を作ったとすると
自然数に最大値が存在しないことに矛盾する
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