[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む31 [無断転載禁止]©2ch.net (805ﾚｽ)
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95(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)17:57 ID:LvkNTLYs(13/36) AAS
>>93
シカトー。
数学ディベートお断り。
どうぞ、自分で証明書いてくださいね。
数学ではそれで十分なんですよ。証明お待ちしていますよ（＾＾；
96: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)17:59 ID:LvkNTLYs(14/36) AAS
ああ、つまらん枝葉の証明は結構です。不要です
>>43の
「この世に完全な乱数は存在しないから、時枝解法成立」の数学的証明とか
あるいは「非可測集合まで拡大した新確率論」で、非可測集合に対する確率の定義を書いて、「時枝解法成立」の数学的証明とか
お願いしますよ。よろしくね
97(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)18:16 ID:LvkNTLYs(15/36) AAS
>>94 勝手に
よく読んでみると、”40 デデキントの実数論”も必要だね
外部ﾘﾝｸ[html]:ogiwara108.blog.fc&2.com は、ＮＧワード規制があり余計な&を挿入しています。これを外してください（＾＾
日々のつれづれ（オイラー研究所学術論叢）
微積分形成史の回想40 デデキントの実数論 2015/01/07
オイラーが提案した関数の概念はラグランジュとコーシーの手にわたって微積分の根本概念になり、それからはもっぱら「関数の微分」と「関数の積分」が考えられていくようになりました。
曲線は関数のグラフとして認識されますが、これはオイラーの流儀です。関数の導関数の定義に接線は介在せず、かえって導関数の数値が接線の傾きを表すと理解されます。
関数の定積分は面積や弧長とは無関係に定義され、面積や弧長は積分計算に帰着されて算出されます。幾何的なイメージは消失し、どこまでも数式が連なって理論が繰り広げられていくのですが、ラグランジュとコーシーでは議論の仕方は大いに異なっていて、今日まで継承されることになったのは、極限の概念を基礎に置くコーシーの流儀でした。
極限の理論の根幹を作るのは「数列の収束」の概念ですが、19世紀の半ばころ、これに関連して新たな出来事がました。それは実数論に寄せる関心のたかまりで、「数」というものを定義しなければならないという考えが生まれたのですが、その根本的な要因は極限の概念にありました。
ドイツの数学者デデキントはゲッチンゲン大学でガウスに学んだ人ですが、卒業してスイスのチューリッヒのスイス連邦工科大学に赴任して微分法を教えることになりました。
省2
98(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)18:19 ID:LvkNTLYs(16/36) AAS
>>97 つづき
具体的に言うと、極限の理論の上に微分法を構築しようとするとき、根幹に位置するのは「単調に増大する有界数列は収束する」という命題ですが、
これを幾何学的直観に助けを借りて説明するのでは科学的とは言えないのではないかという思いに襲われて、「無限小解析の原理の純粋に数論的な全く厳密な基礎を見いだすまではいくらでも永く熟考しようと固く決心した」（デデキント『数について 連続性と数の本質』、河野伊三郎訳、岩波文庫）というのです。
「無限小解析」は微積分と同じで、ロピタルの著作の書名にこの言葉が見られました。
微分学が連続的量を取り扱うとは、しばしば言われているにもかかわらず、その連続性ということの説明はどこにも与えられていないとデデキントは指摘して、こんなふうに言葉を続けています。
〈微分学の最も厳密な叙述といっても、その証明は基礎を連続性におかず、幾何学的な、または幾何学によって生ぜしめられた表象の意識に多かれ少なかれ訴えるか、またはそれ自身いつになっても純粋に数論的に証明されないような定理に基づいているかのいずれかである。〉
このような言葉を見て思い当たることはいくつもありますが、たとえば関数y=f(x)の微分可能性を考える場合には(f(x+h)-f(x))/hという形の商を作ります。そうしてhを限りなく小さくしていくとき、極限値が存在するか否かを問題にするのですが、このような商がどうして微分可能性と関係があるのだろうと考えると、定義の文言を見ただけでは何もわかりません。
そこで(x,y)平面上に関数y=f(x)のグラフをΓを描き、その上に二点P(x, f(x))、Q(x+h, f(x+h))を定め、この二点を結ぶ直線L_hを作ります。幾何学的な表象が意識のカンバスに明瞭に描かれますが、ここでhを小さくしていくと、直線L_hは次第に傾きが変化して、極限状態において点Pにおける接線に重なり合うような印象を受けます。
この印象はきわめて明晰で疑いを挟む余地はありませんし、その印象に基づいて、関数の微分可能性というのは要するに曲線の接線の傾きを知るための手続きであろうという認識が生まれます。微分可能性は、曲線とその接線という表象に訴えて理解されていることになります。
つづく
99(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)18:21 ID:LvkNTLYs(17/36) AAS
>>98
つづき
関数の微分可能性と曲線の接線が密接に連携しているのは当然のことで、だからこそ(f(x+h)-f(x))/hという形の商を作るのですが、デデキントは幾何学的なイメージが表に出ないように心がけているように思います。その理由は厳密性の要請にあり、「無限小解析の原理の純粋に数論的な全く厳密な基礎」を見つけたいというのがデデキントの願いでした。
数列の収束ということを語るのであれば、極限値、すなわち数列がどこまでも近づいていく一個の数の存在を想定しなければなりませんが、これを証明するには「数」というものの実体が明らかになっていなければなりません。
「単調に増大する有界数列は収束する」という命題は、もし「その本来の起原を数論の基礎知識のうちに発見し、それと同時に連続性の本質についての真の定義を獲得」（同上）することができたなら、微積分にとって十分な基礎であることを、デデキントは確信するにいたりました。
デデキントがこの思索を始めたのは1858年の秋のことですが、同年11月24日に成功し、その数日後に、熟考の結果を親友のデュレージに打ち明けました。「永い活発な会話を引き起こした」（同上）ということです。
デデキントは1831年10月6日にガウスと同じブラウンシュヴァイクに生れた人ですから、微積分の基礎を発見したという確信を抱いたのは満27歳になってまもないときのことでした。
(引用終り)
100: 2017/05/07(日)18:22 ID:0UuD6HOg(2/2) AAS
>>95
別に証明というほどでもないが教科書の例題レベルなので
High level peopleでないスレ主のようなLow Guyでも簡単に理解できるでしょう
可算無限個の箱に "順番に" 数字(0か1のどちらか)を入れて可算無限数列を作ったとすると
自然数に最大値が存在しないことに矛盾する
101(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)19:02 ID:LvkNTLYs(18/36) AAS
シカトー
数学ディベート好きなんですね（＾＾
でも、その手には乗りませんよ
時間の浪費ですからね（＾＾；
102(3): 2017/05/07(日)19:07 ID:DFZyfdaD(12/14) AAS
議論についていけなくなるとシカトー連発の馬鹿乙
103(3): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)19:13 ID:LvkNTLYs(19/36) AAS
ああ、無限は難しいですよね
ああ、無限遠点という概念は、ギリシャの円錐曲線論辺りまで遡りますかね？
射影幾何学での「無限遠点」
代数や基礎論での扱いとは別に・・（＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
円錐曲線
(抜粋)
歴史
古代ギリシャのアポロニウスが円錐曲線論の体系を著書にまとめ、中世ヨーロッパではケプラーによって天体の軌道との関連が見出された。またアポロニウスによる総合幾何学的な円錐曲線論はオイラーによって解析幾何学を用いて現代的に書き換えられた。
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
省9
104(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)19:21 ID:LvkNTLYs(20/36) AAS
>>103 追加引用
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
射影幾何学
(抜粋)
歴史
ポンスレーやスタイナーらの仕事は解析幾何学を拡張する方向には向かわなかった。彼らの手法は「総合幾何学」に裏打ちされたものであり、おかげで射影空間は今日では公理的に導入されるものと理解されている。
結果として、射影幾何学の初期の研究は再定式化され、現在の標準的な扱いでは、厳密な理解がいささか困難を伴いうる。射影平面だけを考えた場合でさえ、公理的な方法では、そのモデルの中で線型代数学を通じた記述ができないという結果となる。
幾何学におけるこのような状況が覆ることになるのは、クレブシュ、リーマン、マックス・ネーターらによる（既存の手法を拡充する）一般の代数曲線に関する研究、そして不変式論の登場による。世紀の終わりにかけて代数幾何学イタリア学派（エンリケ, セグレ, セヴェリ）はそれまでの古い射影幾何学的手法を打ち破り、より深い手法を要する主題へと昇華させた。
19世紀の後半には、射影幾何学の詳しい研究は流行ではなくなっていたが、いくつか文献が刊行されている。いくつかの重要な仕事が、特に数え上げ幾何学においてシューベルトによってなされ、これは今では、グラスマン多様体のトポロジーを表すものとして用いられるチャーン類の理論の先駆けと見なされている。
省3
105(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)19:23 ID:LvkNTLYs(21/36) AAS
>>103-104 補足
まあ、要するに、「無限遠点」を導入することによって、円錐曲線論や射影幾何学がすっきり見通しがよくなる
これだけは確かなことでね
では、「無限遠点」が実在するかどうか？
そんなことは、哲学者が論じれば良いんで無いの？（＾＾；
106(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)19:30 ID:LvkNTLYs(22/36) AAS
>>105 関連
ロビンソンの超準解析（下記）も、射影幾何と似たような・・
無限小や無限大を導入することで、すっきり見通しがよくなる（＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
(抜粋)
概要[編集]
超準解析ではイプシロン-デルタ論法によって一度は数学から追放されたと思われた、無限小や無限大という極限に関する古典的で直観的な感覚、すなわち、いわゆる実数論にもとづかないライプニッツ流の古典的な微積分を数学的に厳密に定式化し、取り戻すことができる。
このような古典的な微積分におけるオリジナルな無限小解析学とは区別されることもある。アブラハム・ロビンソンによって考案された。超準解析の基本的な手法である超積はアラン・コンヌらによって作用素環の研究に応用されてもいる。
歴史[編集]
17世紀にニュートンやライプニッツが微分積分学を創始したとき、彼らは極限や収束の概念を極めて素朴に考えていた。後になって、ワイエルシュトラスの ε-δ 論法の発明により微分積分学は厳密化され、無限小や無限大という概念によらずに議論できるようになった。これにより、収束性に関する直観的なイメージをそのまま議論に用いる方法は廃れた。
省2
107(2): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)20:26 ID:LvkNTLYs(23/36) AAS
>>106 関連
ロビンソンの超準解析で、無限小や無限大で
無限大は、幾何学上の、無限遠点に対応するとして
無限小は、幾何学上の、適切な対応点がない・・（＾＾
108(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)20:30 ID:LvkNTLYs(24/36) AAS
>>107 補足
ここらの事情は、下記「拡大実数」と比較してみれば、分かり易いかも・・（＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
拡大実数
(抜粋)
数学における拡張実数（かくちょうじっすう、英: extended real number; 拡大実数）あるいはより精確にアフィン拡張実数 (affinely extended real number) は、通常の実数に正の無限大 +∞ と負の無限大 ?∞ の二つを加えた体系を言う。
新しく付け加えられた元（無限大、無限遠点）は（通常の）実数ではないが、文脈によってはこれらを含めた全ての拡張実数を指して便宜的に「実数」と呼ぶこともあり、その場合通常の実数は有限実数と呼んで区別する[1]。拡張実数の概念は、微分積分学や解析学（特に測度論と積分法）において種々の函数の極限についての記述を簡素化するのに有効である。
（アフィン）拡張実数全体の成す集合 R ∪ {±∞} は、その上の適当な順序構造や位相構造などを持つものとして補完数直線（ほかんすうちょくせん、英: extended real line; 拡張実数直線）と呼ばれ、R や [?∞, +∞] と書かれる。
109: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)20:38 ID:LvkNTLYs(25/36) AAS
>>108
拡大実数に対して、ロビンソンの超準解析では、「超実数」というらしい・・（＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
超実数
(抜粋)
超実数（ちょうじっすう、英: hyperreal number）または超準実数（ちょうじゅんじっすう、英: nonstandard reals）と呼ばれる数の体系は無限大量や無限小量を扱う方法の一つである。超実数の全体 *R は実数体 R の拡大体であり、
1+1+・・・ +1
の形に書ける如何なる数よりも大きい元を含む。そのような数は無限大であり、その逆数は無限小である。"hyper-real" の語はエドウィン・ヒューイット（英語版）が1948年に導入した[1][2]。
超実数は（ライプニッツの経験則的な連続の法則（英語版）を厳密なものにした）移行原理（英語版）を満たす。この移行原理が主張するのは、R についての一階述語論理の真なる主張は *R においても真であることである。例えば、加法の可換則 x + y = y + x は、実数におけると全く同様に、超実数に対しても成り立つ。
また例えば R は実閉体（英語版）であるから、*R も実閉体である。また、任意の整数 n に対して sin(πn) = 0 が成立するから、任意の超準整数（英語版） H に対しても sin(πH) = 0 が成立する。超冪に対する移行原理は1955年のウォシュの定理（英語版）の帰結である。
省3
110: 2017/05/07(日)21:12 ID:Xm5Yrxqw(1) AAS
2017.5.5(金祝) 埼玉準決勝 大宮公園野球場(122-99) 第二試合
花咲徳栄
104 002 3-10 H10 E0
100 000 1-2 H5 E3
春日部共栄
(徳)綱脇−須永
(共)熊田、森田、内藤−又吉
花咲徳栄の３番西川、４番野村の打撃には思春期の匂いが少なく
研ぎ澄まされた緊張感と獰猛さがいい感じで融合され、チームの看板として申し分ない
春日部共栄打線では４番山本
省8
111: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)21:17 ID:LvkNTLYs(26/36) AAS
誤爆おつ（＾＾
112: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)21:26 ID:LvkNTLYs(27/36) AAS
>>103 関連
射影幾何学での「無限遠点」のような仮想的な要素は、人はよく考える
無限の智恵を持つ神とか
関連では、「万能チューリングマシン」のような考えもある
「万能チューリングマシン」のようなものを考える方が、理論としては、すっきりするんだよね（＾＾；
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
(抜粋)
チューリングの仮想機械は、
１．無限に長いテープ
２．その中に格納された情報を読み書きするヘッド
省4
113(1): 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)21:39 ID:LvkNTLYs(28/36) AAS
>>107 関連
>無限小は、幾何学上の、適切な対応点がない・・（＾＾
数直線上には、無限小に対応する明確な点はない。そこは、無限遠点と違うところだが
思えば、古代ギリシャのユークリッド幾何の点は、面積がないと仮想されていた。現代数学の視点では、面積ゼロではなく、無限小と考える方が適切かも・・（＾＾
微分係数でも、接線との関係で、曲線で２点で交わる場合に、２点間の距離を無限小に縮めた場合が接線で、接線の傾きが微分係数と、幾何学的には説明されていたね・・
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
点 (数学)
(抜粋)
点（てん）とは、空間における正確な位置を定義するために使われる概念である。一切の体積、面積、長さをもたない。数学では概して(特に位相幾何学)、どの空間形態も基本的要素として点から成るとされる。
ユークリッドの点
省8
114: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/05/07(日)21:45 ID:LvkNTLYs(29/36) AAS
>>113
そういえば、力学においても、面積体積を持たない点として、質点を考えるね
質点にすべての質量が集中していると考えて、力学計算を行う・・（＾＾
ところが、量子力学では、素粒子が質点と考えると、計算が無限大になってしまうという・・（＾＾；
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
質点
(抜粋)
質点（しつてん、英語: point mass）とは力学的概念で、位置が一意的に定まり質量を持つ運動の要素だが、それ以外の、体積・変形・角速度などの内部自由度を一切持たないものと定義される。
点粒子の一種である。モデルであるが、初等的な積分計算で証明できるように、球対称な質量分布を持つ固い物体は、その重心運動を扱う限りにおいては、全質量をその中心に集中させた質点として扱ったとしても、近似ではなく完全に一致する。
従って、例えば、惑星の公転軌道を計算する場合などにおいては、惑星を質点と見なしても、体積を持った球として計算した場合と全く同様の正確さで計算できる。
省1
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