現代数学の系譜11 ガロア理論を読む32 [無断転載禁止]©2ch.net

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175: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/05/23(火) 00:08:11.70 ID:I0gd4mu6

下記は、随分以前にコピペしたと思うが、再掲する（＾＾
http://fuchino.ddo.jp/index-j.html
渕野 昌 (Sakae Fuchino) の web page．
http://fuchino.ddo.jp/misc/kobe10-05-15-pf.pdf
ゲーデルの不完全性定理と無限の研究としての集合論
渕野昌 神戸大学大学院情報システム学研究科 2010-05-15
(抜粋)
ヒルベルトは，数学の論理的演繹を外からながめて，記号列の
有限的かつ構成的な操作の体系（有限の立場）として分析するこ
とで，この体系が矛盾しないこと（無矛盾性）を証明する，とい
う計画（ヒルベルトのプログラム）に，1920 年代（大正中期ご
ろ）から精力的に取組みはじめた．
1930 年代に入って，ヒルベルトの研究は実を結びはじめ，ヒルベ
ルトと，ベルナイズ，アッカーマン，フォン・ノイマンといった
彼の協力者たちは，弱い数論の体系や解析学（微分積分学）の古
典的な部分を含む体系についての無矛盾性を確立した．これを推
し進めてゆけばやがては数学のもっと大きな部分についても無矛
盾性の確立ができそうに思えた．

ところが，ゲーデルによって証明された次の定理により，ヒルベ
ルトのプログラムは，ヒルベルトが最初に考えていたような形で
は，実現が不可能であることが明かになった．

定理5 (K. ゲーデル,1931年（昭和6 年）

(1) 任意の，初等数論の体系を含む，具体的に与えられた公理系
は，（それが矛盾しないなら）完全でない．つまり，この公理系で
現われる概念のみを用いて作られた主張φ で，φ も， φ の否定
￢φ もこの公理系から証明できないようなものが存在する．
(2) 任意の，初等数論の体系を含む，具体的に与えられた公理系
について，それが無矛盾であることを，その体系自身での議論で
示すことはできない．

・ 上の(1)(2)はそれぞれ（ゲーデルの）第一不完全性定理，第
二不完全性定理とよばれている．
・(1) でのようなφ は，公理系から独立であるという．
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1495369406/175

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