現代数学の系譜11 ガロア理論を読む34 [無断転載禁止]©2ch.net

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358: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/06/09(金) 08:33:18.84 ID:QUcLaO/w

>>349
￥さん、どうも。スレ主です。

￥さんの話は、いつも深いね（＾＾
URL見たけど、中嶋貞雄先生は、低温物理だったか超伝導だったか忘れたが、書店に本があったね
Gell-Mannは、クオーク理論でノーベル賞を取った人と同一人物だろう、おそらく。個体物理か超伝導か分からないが、そういう研究もしていたのかね？
wikipediaでは出てこないが、google本では登場するね。えーと、下記インタビュー記事があるね
虚数時間の類似の話は、ホーキングの宇宙論であったね（下記）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%82%B2%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%B3
マレー・ゲルマン 1969年、「素粒子の分類と相互作用に関する発見と研究」でノーベル物理学賞を受賞。

https://www.aip.org/history-programs/niels-bohr-library/oral-histories/32880
American Institute of Physics
Murray Gell-Mann
Interviewed by: Lillian Hoddeson  27 July 1982
(抜粋)

Hoddeson:
But this was a period when Feynman methods and other (Gell-Mann: Yeah.) Field Theory methods were just beginning to enter (Gell-Mann: Well...) solid state?

Hoddeson:

Were there other responses? I mean, this paper is terribly seminal now. I mean, you're not working in solid state now, so you probably (Gell-Mann: No. I never have, except for that.) don't know how people (Gell-Mann: And I never ? no.) talk about it.
(Gell-Mann: No, I never paid much attention.) But everybody always (Gell-Mann: I see. Really?) ? yeah. It's one of the (Gell-Mann: Well, that's good.) important papers because it offered a way to do the, you know, see how good the approximations were rather rigorous.

Gell-Mann:
The connection with solids is, of course, one of the most, requires a great idealization of solids to connect this electron gas. But, the electron gas is an interesting mathematical...

http://ameblo.jp/tta33cc/entry-11761627568.html
時間を虚数にすると、特異点になる？――ホーキング博士の宇宙論。 二葉亭餓鬼録,田中幸光,ブログ 2014年01月31日

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1496568298/358

365: １３２人目の素数さん [sage] 2017/06/09(金) 15:16:32.74 ID:rSO7fcto

x^n n∈N＼{0} の形で表せないような、0ではない有理係数多項式を f(x) とする。
このとき、f(e)＞0 ならば、log(f(e)) は超越数である。
1)：f(x) が有理数のときは、仮定から f(e) は正の有理数で、
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理(以下、L-Wの定理と略記する)から log(f(e)) は超越数である。
2)：f(x) が有理数ではないとき。log(f(e))＝α αは代数的数 とすると、e^α＝f(e)。
2-1)：f(x) の項に定数の項として有理数があるとき。
また、f(x) の最大次数nは1以上だから、何れも或る有理数 a_1,…,a_n,b が存在して、
f(e)＝a_1・e^n＋…＋a_n・e＋b、ここに、b≠0。従って、e^α＝a_1・e^n＋…＋a_n・e＋b。
2-1-1)：n≧2 のとき。このときは、L-Wの定理に反することになる。
2-1-2)：n＝1 のとき。このときは、e^α＝a_1・e＋b。
α＝1 のとき、e＝a_1・e＋b で、仮定から b≠0 だから a_1≠0。従って、L-Wの定理に反することになる。
α≠1 のとき。このときは、同様にL-Wの定理に反することになる。故に、n＝1 のときは矛盾する。
2-1-1)、2-1-2)から、f(x) の項に定数の項として有理数があるときは矛盾する。
2-2)：f(x) の項に定数の項として有理数がないとき。f(x) の最大次数をnとする。
すると、f(x) は有理数ではない。また仮定から f(x) x^n n∈N＼{0} の形で表せない有理係数多項式である。
仮定から f(e)＞0 だから、n≧2。従って、何れも或る有理数  a_1,…,a_n が存在して、f(x)＝a_1・x^n＋…＋a_n・x で、
xにeを代入すると、a_1・e^n＋…＋a_n・e＞0。log(f(e))＝α としているから、α＝log(a_1・e^n＋…＋a_n・e) から
e^α＝a_1・e^n＋…＋a_n・e。しかし、これはL-Wの定理に反し矛盾する。
2-1)、2-2)から、f(x) が有理数ではないときも矛盾する。従って、背理法が適用出来て、log(f(e)) は超越数である。
1)、2)から、log(f(e)) は超越数である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1496568298/365

375: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/06/09(金) 20:36:56.22 ID:QUcLaO/w

>>358 虚数時間：ウィック回転は過去にも出たかな？

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%99%82%E9%96%93
(抜粋)
虚数時間
スティーヴン・ホーキングとジェームズ・ハートルは1983年に発表した無境界仮説において、複素数にまで拡張した時間を計算に使用した。ここから、宇宙の始まりでビッグバン以前の時間が虚数であれば時間的特異点が解消されるとも主張した。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%99%9A%E6%99%82%E9%96%93
(抜粋)
虚時間と温度
温度   Tと虚時間 τは反比例の関係にある。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A3%E3%83%83%E3%82%AF%E5%9B%9E%E8%BB%A2
(抜粋)
理論物理学において、ウィック回転とは、ミンコフスキー空間で発生する問題を回避するために、ミンコフスキー空間上の実変数を虚数に置き換えて、ユークリッド空間上の変数へ変換する操作である
この変換は量子力学における問題を他の分野と関連付ける際にも用いられる。この変換が回転（rotation）と呼ばれるのは、複素平面上で実軸から虚軸へ位相π/2回転させることを意味している。1954年にイタリアの物理学者、ジャンカルロ・ウィックによって初めて導入された

概要
ミンコフスキー空間の時間座標 t を虚数としたとき、すなわち、時間 t を虚軸上の値と制限したとき、ミンコフスキー計量はユークリッド計量となる。逆に、ユークリッド空間上の座標τを虚数としたとき、ユークリッド計量はミンコフスキー計量となる
物理学では、座標(x, y, z, t) で表現されるミンコフスキー空間上での問題を扱う際、t →iτと置き換えることで、座標 (x, y, z, τ)で表現されるユークリッド空間上での問題へと変換すると、より簡単に問題が扱える場合がある

統計力学と量子力学の対応
ウィック回転は統計力学を量子力学と対応付ける際に用いられる。このとき、統計力学における逆温度1/kB T は量子力学における虚時間 it/h~ と置き換えられる

経路積分と分配関数
上述の例は、統計力学の分配関数と量子力学の経路積分がどのように対応しているのかを示している

静力学と動力学の対応
ウィック回転によって、n 次元の静力学問題と n -1次元の動力学問題を対応付けることができる。このとき、静力学における空間1次元と動力学における時間1次元が置き換えられる

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1496568298/375

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