[過去ﾛｸﾞ] 面白い問題おしえて〜な 二十三問目 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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310: 302 2017/06/29(木)14:51 ID:pDFeYatX(1/3) AA×


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310: 302 [] 2017/06/29(木) 14:51:00.54 ID:pDFeYatX 解答 問1 jが奇数ならば2jは素因数に2を一つしか持たず、平方数になることはない。 よって、2jが平方数になるときjは偶数で、j=2k^2とおける。 j+1=2k^2+1が平方数になるとき2k^2+1=l^2とおける。 l^2-2k^2=1 自然数解(l,k)は無限個存在し、 （明らかに自然数解kは無限個存在するから、） 題意を満たす自然数j=2k^2も無限個存在する。 問2 三角数はa(a+1)/2と表せる。 これが四角数になるときa(a+1)/2=b^2とおける。 a^2+a-2b^2=0⇔4a^2+4a-8b^2=0⇔(2a+1)^2-2(2b)^2=1 A=2a+1, B=2bとおけばA^2-2B^2=1 自然数解(A,B)は無限個存在する。 最小の自然数解(A_1,B_1)は(3,2)であり、 A_mが奇数、B_mが偶数と仮定すると A_(m+1)=3(A_m)+4(B_m)は奇数 B_(m+1)=2(A_m)+3(B_m)は偶数 よって、全ての自然数解(A_n,B_n)についてA_nは奇数、B_nは偶数である。 A^2=2B^2+1でA^2は奇数、Aも奇数 2B^2=(A+1)(A-1)=(偶数)^2でB^2は偶数、Bも偶数 と直接示してしてもよい。 したがって、a=(A-1)/2, b=B/2はいずれも自然数であり、 自然数解(a,b)も無限に存在する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/310
解答 問 が奇数ならばは素因数にを一つしか持たず平方数になることはない よってが平方数になるときは偶数でとおける が平方数になるときとおける 自然数解は無限個存在し 明らかに自然数解は無限個存在するから 題意を満たす自然数も無限個存在する 問 三角数はと表せる これが四角数になるときとおける とおけば 自然数解は無限個存在する 最小の自然数解はであり が奇数が偶数と仮定すると は奇数 は偶数 よって全ての自然数解については奇数は偶数である では奇数も奇数 偶数では偶数も偶数 と直接示してしてもよい したがって はいずれも自然数であり 自然数解も無限に存在する

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