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面白い問題おしえて〜な 二十三問目 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
面白い問題おしえて〜な 二十三問目 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
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302: １３２人目の素数さん [] 2017/06/28(水) 21:55:05.71 ID:xEqrn1lZ x,yに関する不定方程式 x^2-dy^2=1 （dは平方数でない自然数） は「ぺル方程式」とよばれ、無限個の自然数解を持つことが知られている。 問1 j+1と2jが共に平方数になるような自然数jが無限に存在することを示せ。 また、最小の自然数解を(X,Y)とすると、全ての自然数解(x_n,y_n)は x_1=X, y_1=Y x_(n+1) = (x_n)(x_1) + d(y_n)(y_1) y_(n+1) = (x_n)(y_1)+(y_n)(x_1) で表せることが知られている。 問2 「平方数であるような自然数列の部分和」、すなわち「三角数かつ四角数」が無限に存在すことを示せ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/302
310: 302 [] 2017/06/29(木) 14:51:00.54 ID:pDFeYatX 解答 問1 jが奇数ならば2jは素因数に2を一つしか持たず、平方数になることはない。 よって、2jが平方数になるときjは偶数で、j=2k^2とおける。 j+1=2k^2+1が平方数になるとき2k^2+1=l^2とおける。 l^2-2k^2=1 自然数解(l,k)は無限個存在し、 （明らかに自然数解kは無限個存在するから、） 題意を満たす自然数j=2k^2も無限個存在する。 問2 三角数はa(a+1)/2と表せる。 これが四角数になるときa(a+1)/2=b^2とおける。 a^2+a-2b^2=0⇔4a^2+4a-8b^2=0⇔(2a+1)^2-2(2b)^2=1 A=2a+1, B=2bとおけばA^2-2B^2=1 自然数解(A,B)は無限個存在する。 最小の自然数解(A_1,B_1)は(3,2)であり、 A_mが奇数、B_mが偶数と仮定すると A_(m+1)=3(A_m)+4(B_m)は奇数 B_(m+1)=2(A_m)+3(B_m)は偶数 よって、全ての自然数解(A_n,B_n)についてA_nは奇数、B_nは偶数である。 A^2=2B^2+1でA^2は奇数、Aも奇数 2B^2=(A+1)(A-1)=(偶数)^2でB^2は偶数、Bも偶数 と直接示してしてもよい。 したがって、a=(A-1)/2, b=B/2はいずれも自然数であり、 自然数解(a,b)も無限に存在する。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/310
311: 302 [] 2017/06/29(木) 15:11:55.91 ID:pDFeYatX ちなみに漸化式を解いて一般項を求めると l_n=A_n=(1/2)((3+2√2)^n+(3-2√2)^n) k_n=B_n=((√2)/4)((3+2√2)^n-(3-2√2)^n) j_n=(1/8)((3+2√2)^(2n)+(3-2√2)^(2n)-2) a_n=(1/4)((3+2√2)^n+(3-2√2)^n-2) b_n=((√2)/8)((3+2√2)^n-(3-2√2)^n) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/311
313: 302 [] 2017/06/29(木) 15:50:56.20 ID:pDFeYatX 2を掛け忘れていた j_n =(1/4)((3+2√2)^(2n)+(3-2√2)^(2n)-2) =(1/4)((17+12√2)^n+(17-12√2)^n-2) j_1=8 j+1=9=3^2, 2j=16=4^2 j_2=288 j+1=289=17^2, 2j=576=24^2 j_3=9800 j+1=9801=99^2, 2j=19600=140^2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/313
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