[過去ﾛｸﾞ] 不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net (1002ﾚｽ)
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155(1): 2017/07/17(月)20:16 ID:SY6Y6f40(5/7) AAS
>>77(4)
2+a = 1+1+a ≧ 3*a^(1/3)
2+b = 1+1+b ≧ 3*b^(1/3)
2+c = 1+1+c ≧ 3*c^(1/3)
∴(2+a)(2+b)(2+c) ≧ 27*(abc)^(1/3)
ところで、a,b,c>0 かつ a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4 のときに、
「Easy to get that abc≦1」 とあるけど、どのようにして分かるんでせうか？
外部ﾘﾝｸ:artofproblemsolving.com
156: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月)20:24 ID:PMZXT70X(25/26) AAS
▼▼▼馬鹿板からは身を引き、日々学問に真剣に取り組む姿勢こそが人の道である。▼▼▼
￥
157: 2017/07/17(月)20:34 ID:SY6Y6f40(6/7) AAS
AA省
158: 2017/07/17(月)21:08 ID:SY6Y6f40(7/7) AAS
AA省
159: ￥氏 ◆2VB8wsVUoo 2017/07/17(月)21:23 ID:PMZXT70X(26/26) AAS
￥
160(1): 2017/07/18(火)03:40 ID:bAXQRDUT(1) AAS
>>77 追加
a,b,c≧0、a^2 + b^2 + c^2 + abc = 4のとき、
(8) bc/a + ca/b + ab/c + a + b + c ≧6
(9) sqrt(bc/a) + sqrt(ca/b) + sqrt(ab/c) ≧ sqrt(8+abc)
(10) sqrt(a/(bc)) + sqrt(b/(ca)) + sqrt(c/(ab)) ≧ 1 + 2/sqrt(abc)
外部ﾘﾝｸ:artofproblemsolving.com
どうやるんだろう…
161: 2017/07/18(火)04:49 ID:gmN7VRE9(1) AAS
>>153
各辺が周期πをもつばあいは、（最寄りの mπ から π/2 以内にあるとして）mπずらすことが可能でござる。
（オリジナルの周期は2πゆえ）たとえば絶対値を付けて
cos(sin(x)）≧｜cos(x)｜≧ ｜sin(cos(x))｜,
162: 2017/07/19(水)04:31 ID:OXFuyCoZ(1/5) AAS
>>153 （続き）
-π/2 ≦ x ≦π/2 に対して
cos(sin(x)）≧｜cos(x)｜≧｜sin(cos(x))｜
ゆえ、任意の実数に対して成り立つ。
左の等号 x=mπ
右の等号 x=mπ±π/2
〔類題〕
0.107126944873 ≦ cos(sin(x)）-｜sin(cos(x))｜≦ cos(1）〜 0.54030230
左の等号 x=mπ±0.692728570
右の等号 x=mπ±π/2
163(2): 2017/07/19(水)05:59 ID:3YGTFP1s(1/5) AAS
>>69 (1)
> 正の数 a,b,c に対して、
> (a+b+c)^5 ≧ 27(ab+bc+ca)(ab^2 + bc^2 +ca^2)
基本対称式 s,t,u に置き換えても、うまく証明できんでござる。
164: 2017/07/19(水)06:06 ID:3YGTFP1s(2/5) AAS
>>160 (9)(10)
sqrt(x)は上に凸だから、Jensenは使えんのよなあ。
165(1): 2017/07/19(水)07:03 ID:3YGTFP1s(3/5) AAS
[不等式 第7章]
> 241 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2014/09/18(木) 00:44:36.72
> 0<x<y<π/2の時
> (tanx/x)^x+(siny/y)^y<(tany/y)^y+(sinx/x)^x
> を示せ
これも証明できていない…
166(1): 2017/07/19(水)08:55 ID:3YGTFP1s(4/5) AAS
ASU 1969.14 の巡回不等式を探そうとしたら消えていた。他も殆ど見れなくなっている… ('A`)ｳﾞｫｴｧ！
外部ﾘﾝｸ[html]:mks.mff.cuni.cz
167(3): 2017/07/19(水)08:58 ID:OXFuyCoZ(2/5) AAS
>>69 (1)
>>163
0 ≦ a ≦ b, c としてよい。
この場合は基本対称式よりも b+c-2a = x の方がいいんぢゃね？
(左辺）=（a+b+c)^5 =（3a+x)^5
= 243a^5 + 405a^4x + 270aaaxx + 90aaxxx + 15ax^4 + x^5,
ab+bc+ca = 3aa + 2a(b+c-2a）+（b-a)(c-a）≦ 3aa + 2ax +（1/4)xx,
abb+bcc+caa = 3aaa+3aa(b+c-2a)+a(b+c-2a)^2+(b-a)(c-a)^2 ≦ 3aaa+3aax+axx+(4/27)xxx,
(右辺)=27(ab+bc+ca)(abb+bcc+caa)≦243a^5+405a^4x+(1053/4)aaaxx+(345/4)aaxxx+(59/4)ax^4+x^5,
(左辺）-（右辺）≧ a(27aa+15ax+xx)xx/4 ≧ 0,
168(1): 2017/07/19(水)09:58 ID:OXFuyCoZ(3/5) AAS
>>69 (1)
>>163
3a = A, b+c-2a = x とおくと…
(左辺)/243 =｛(a+b+c)/3}^5 =（A+x)^5
= A^5 + 5A^4･x + 10AAAxx + 10AAxxx + 5Ax^4 + x^5,
ab+bc+ca ≦ {AA + 2Ax + (3/4)xx}/3,
abb+bcc+caa ≦｛AAA +3AAx +3Axx +(4/3)xxx}/9,
(右辺)/243 = (ab+bc+ca)(abb+bcc+caa)/9
≦ A^5 + 5A^4･x +（9.75)AAAxx +（9.58333…)AAxxx +（4.91666…)Ax^4 + x^5,
(左辺）-（右辺）≧ A(3AA+5Ax+xx)xx/12 ≧ 0,
省1
169: 2017/07/19(水)10:37 ID:OXFuyCoZ(4/5) AAS
>>137
x(x+y) ≧ 4.283918322582003
（x=1.1960916895833343 y=2.3855052397246037)
3x^10 + 2x^9 - 28 = 0 の正根
170(2): 2017/07/19(水)17:31 ID:3YGTFP1s(5/5) AAS
>>167
さんくす。今夜読んでみます。
Shapiroの巡回不等式のn=6のときの証明を、>>2 [4] を見ながらやってみたけど、途中で詰まったでござる。
n=3のときは、f(x)=x/(s-x) に Jensenでok?
171(1): 2017/07/19(水)19:52 ID:OXFuyCoZ(5/5) AAS
>>170
>>2 [3] 「不等式への招待」(1987）p.28-30 を読むと
B_i = x_{i+1} + x_{i+2}
とおく。ただし x_{n+1} = x_1, x_{n+2} = x_2
コーシーより
Σ[i=1,n] x_i / B_i ≧ (Σ[i=1,n] x_i)^2 / ｛Σ[j=1,n] x_j B_j｝,
ゆえ
(Σ[i=1,n] x_i)^2 -(n/2)Σ[j=1,n] x_j B_j ≧ 0
を言えばよい。
n=3,5 の場合は
省7
172: 2017/07/20(木)01:52 ID:Oabzsbx8(1/2) AAS
>>170
n=3（Nesbitt）の方はそれで おk ですね。ほかにも
a/(b+c）=（1/2){(a+b)/(b+c) -1 +(c+a)/(a+b)}
を巡回的にたして相加-相乗平均する。
a/(b+c）=（a+b+c)/(b+c） - 1
を巡回的にたして相加-調和平均する。
など種々ありますね。
外部ﾘﾝｸ:mathtrain.jp
173: 2017/07/20(木)02:37 ID:Oabzsbx8(2/2) AAS
ピコーン太郎が歌う…
I have a function u(x) which satisfies｛p1(x) u '(x)｝' + q1(x)u(x) = 0.
I have a function v(x) which satisfies｛p2(x) v '(x)｝' + q2(x)v(x) = 0.
mmmmmmmmmmmmmm
Picone identity
省1
174: ￥ ◆2VB8wsVUoo 2017/07/20(木)07:08 ID:R+taoMN8(1/34) AAS
￥
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